Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 > 0 \);
б) \( \sqrt[5]{x} — 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0 \)
Решить неравенство методом введения новой переменной:
а) \( \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 > 0 \);
Пусть \( y = \sqrt[6]{x} \), тогда:
\( y^2 — y — 2 > 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \), тогда:
\( y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \) и \( y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \);
\( (y + 1)(y — 2) > 0 \);
\( y < -1 \) или \( y > 2 \);
Первое значение:
\( \sqrt[6]{x} < -1 \);
\( x \in ø \);
Второе значение:
\( \sqrt[6]{x} > 2 \);
\( x > 64 \);
Ответ: \( x \in (64; +\infty) \).
б) \( \sqrt[5]{x} — 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0 \);
Пусть \( y = \sqrt[10]{x} \), тогда:
\( y^2 — 6y + 8 < 0 \);
\( D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \), тогда:
\( y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4 \);
\( (y — 2)(y — 4) < 0 \);
\( 2 < y < 4 \);
Вернем замену:
\( 2 < \sqrt[10]{x} < 4 \);
\( 2^{10} < x < (2^2)^{10} \);
\( 2^{10} < x < 2^{20} \);
Ответ: \( x \in (2^{10}; 2^{20}) \).
а) \( \sqrt[3]{x} — \sqrt[6]{x} — 2 > 0 \);
Шаг 1. Введем новую переменную:
Пусть \( y = \sqrt[6]{x} \), тогда \( \sqrt[3]{x} = y^2 \), так как \( \sqrt[3]{x} = \left( \sqrt[6]{x} \right)^2 \).
Шаг 2. Подставим замену в исходное неравенство:
\( y^2 — y — 2 > 0 \).
Шаг 3. Решим квадратное неравенство:
Для решения квадратного неравенства найдем дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
Шаг 4. Найдем корни квадратного уравнения:
\( y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \).
\( y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).
Шаг 5. Разложим квадратное выражение на множители:
\( y^2 — y — 2 = (y + 1)(y — 2) \).
Неравенство принимает вид:
\( (y + 1)(y — 2) > 0 \).
Шаг 6. Найдем промежутки, где произведение положительно:
Произведение двух множителей положительно, если оба множителя имеют одинаковый знак.
Рассмотрим знаки множителей:
\( y + 1 > 0 \) при \( y > -1 \).
\( y — 2 > 0 \) при \( y > 2 \).
Произведение положительно на промежутках:
\( y < -1 \) или \( y > 2 \).
Шаг 7. Вернемся к исходной переменной:
Первый случай: \( y < -1 \).
\( \sqrt[6]{x} < -1 \).
Корень четной степени от числа \( x \) не может быть отрицательным, следовательно:
\( x \in ø \).
Второй случай: \( y > 2 \).
\( \sqrt[6]{x} > 2 \).
Возведем обе части в шестую степень:
\( x > 64 \).
Ответ: \( x \in (64; +\infty) \).
б) \( \sqrt[5]{x} — 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0 \);
Шаг 1. Введем новую переменную:
Пусть \( y = \sqrt[10]{x} \), тогда \( \sqrt[5]{x} = y^2 \), так как \( \sqrt[5]{x} = \left( \sqrt[10]{x} \right)^2 \).
Шаг 2. Подставим замену в исходное неравенство:
\( y^2 — 6y + 8 < 0 \).
Шаг 3. Решим квадратное неравенство:
Для решения квадратного неравенства найдем дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4 \).
Шаг 4. Найдем корни квадратного уравнения:
\( y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2 \).
\( y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \).
Шаг 5. Разложим квадратное выражение на множители:
\( y^2 — 6y + 8 = (y — 2)(y — 4) \).
Неравенство принимает вид:
\( (y — 2)(y — 4) < 0 \).
Шаг 6. Найдем промежутки, где произведение отрицательно:
Произведение двух множителей отрицательно, если множители имеют разные знаки.
Рассмотрим знаки множителей:
\( y — 2 > 0 \) при \( y > 2 \).
\( y — 4 > 0 \) при \( y > 4 \).
Произведение отрицательно на промежутке:
\( 2 < y < 4 \).
Шаг 7. Вернемся к исходной переменной:
\( 2 < \sqrt[10]{x} < 4 \).
Возведем обе части в десятую степень:
\( 2^{10} < x < (2^2)^{10} \).
Упростим выражение:
\( 2^{10} < x < 2^{20} \).
Ответ: \( x \in (2^{10}; 2^{20}) \).
