ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 3^x + 3^{-x+1} \leq 4 \);

б) \( 25^{-x} — 50 > 5^{-x+1} \)

Решить неравенство методом введения новой переменной:

а) \( 3^x + 3^{-x+1} \leq 4 \);

\( 3^x — 4 + \frac{3}{3^x} \leq 0 \);

Пусть \( y = 3^x \), тогда:

\( y — 4 + \frac{3}{y} \leq 0 \quad | \cdot y \);

\( y^2 — 4y + 3 \leq 0 \);

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \), тогда:

\( y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \);

\( (y — 1)(y — 3) \leq 0 \);

\( 1 \leq y \leq 3 \);

Вернем замену:

\( 1 \leq 3^x \leq 3 \);

\( 3^0 \leq 3^x \leq 3^1 \);

\( 0 \leq x \leq 1 \);

Ответ: \( x \in [0; 1] \).

б) \( 25^{-x} — 50 > 5^{-x+1} \);

\( (5^2)^{-x} — 5^{-x+1} — 50 > 0 \);

\( 5^{-2x} — 5 \cdot 5^{-x} — 50 > 0 \);

Пусть \( y = 5^{-x} \), тогда:

\( y^2 — 5y — 50 > 0 \);

\( D = 5^2 + 4 \cdot 50 = 25 + 200 = 225 \), тогда:

\( y_1 = \frac{5 — 15}{2} = -5 \) и \( y_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10 \);

\( (y + 5)(y — 10) > 0 \);

\( y < -5 \) или \( y > 10 \);

Первое значение:

\( 5^{-x} < -5 \);

\( x \in ø \);

Второе значение:

\( 5^{-x} > 10 \);

\( \frac{1}{5^x} > 10 \);

\( 1 > 10 \cdot 5^x \);

\( 5^x < 0,1 \);

\( x < \log_5 0,1 \);

Ответ: \( x \in (-\infty; \log_5 0,1) \).

а) \( 3^x + 3^{-x+1} \leq 4 \)

Шаг 1. Преобразуем выражение:

\( 3^x + \frac{3}{3^x} \leq 4 \).

Перенесем \( 4 \) в левую часть:

\( 3^x — 4 + \frac{3}{3^x} \leq 0 \).

Шаг 2. Введем замену:

Пусть \( y = 3^x \), тогда \( \frac{3}{3^x} = \frac{3}{y} \).

Неравенство примет вид:

\( y — 4 + \frac{3}{y} \leq 0 \).

Шаг 3. Умножим обе части на \( y \) (при \( y > 0 \), так как \( 3^x > 0 \)):

\( y^2 — 4y + 3 \leq 0 \).

Шаг 4. Решим квадратное неравенство:

Для решения найдем дискриминант:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \).

Корни квадратного уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1 \).

\( y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).

Шаг 5. Разложим квадратное выражение на множители:

\( y^2 — 4y + 3 = (y — 1)(y — 3) \).

Неравенство принимает вид:

\( (y — 1)(y — 3) \leq 0 \).

Шаг 6. Найдем промежутки, где произведение неположительно:

Произведение двух множителей неположительно, если один из множителей положителен, а другой отрицателен, либо оба равны нулю.

Решение:

\( 1 \leq y \leq 3 \).

Шаг 7. Вернемся к исходной переменной:

\( 1 \leq 3^x \leq 3 \).

Преобразуем в степени тройки:

\( 3^0 \leq 3^x \leq 3^1 \).

Получаем:

\( 0 \leq x \leq 1 \).

Ответ: \( x \in [0; 1] \).

б) \( 25^{-x} — 50 > 5^{-x+1} \)

Шаг 1. Преобразуем выражение:

\( (5^2)^{-x} — 50 > 5^{-x+1} \).

Раскроем степени:

\( 5^{-2x} — 50 > 5 \cdot 5^{-x} \).

Перенесем \( 5 \cdot 5^{-x} \) в левую часть:

\( 5^{-2x} — 5 \cdot 5^{-x} — 50 > 0 \).

Шаг 2. Введем замену:

Пусть \( y = 5^{-x} \), тогда \( 5^{-2x} = y^2 \).

Неравенство примет вид:

\( y^2 — 5y — 50 > 0 \).

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

Для решения найдем дискриминант:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 \).

Корни квадратного уравнения:

\( y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 15}{2} = -5 \).

\( y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = 10 \).

Шаг 4. Разложим квадратное выражение на множители:

\( y^2 — 5y — 50 = (y + 5)(y — 10) \).

Неравенство принимает вид:

\( (y + 5)(y — 10) > 0 \).

Шаг 5. Найдем промежутки, где произведение положительно:

Произведение двух множителей положительно, если оба множителя имеют одинаковый знак.

Решение:

\( y < -5 \) или \( y > 10 \).

Шаг 6. Вернемся к исходной переменной:

Первый случай: \( y < -5 \).

\( 5^{-x} < -5 \).

Корень отрицательного значения невозможен, следовательно:

\( x \in ø \).

Второй случай: \( y > 10 \).

\( 5^{-x} > 10 \).

Преобразуем выражение:

\( \frac{1}{5^x} > 10 \).

Умножим обе части на \( 5^x \):

\( 1 > 10 \cdot 5^x \).

Разделим обе части на \( 10 \):

\( 5^x < 0,1 \).

Преобразуем в логарифм:

\( x < \log_5 0,1 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; \log_5 0,1) \).