Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Являются ли равносильными неравенства:
а) \( \sin x + 2 \log_3 x > 20 \) и \( \sin x > 20 — 2 \log_3 x \)
б) \( \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1 \) и \( \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1} \)
в) \( 13 — 13^{x^2 — 4} \geq 10^x \) и \( 13 \geq 10^x + 13^{x^2 — 4} \)
г) \( 10^{4x — 1} \cdot \lg(x^2 — 4) < 0 \) и \( \lg(x^2 — 4) < 0 \)
а) \( \sin x + 2 \log_3 x > 20 \) и \( \sin x > 20 — 2 \log_3 x \)
Переносим \( 2 \log_3 x \) из левой части в правую:
\( \sin x > 20 — 2 \log_3 x \)
Ответ: Да
б) \( \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1 \) и \( \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1} \)
Знаменатель \( \sqrt{x^2 + 1} > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Умножаем обе части на \( \sqrt{x^2 + 1} \):
\( \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1} \)
Ответ: Да
в) \( 13 — 13^{x^2 — 4} \geq 10^x \) и \( 13 \geq 10^x + 13^{x^2 — 4} \)
Переносим \( 13^{x^2 — 4} \) из левой части в правую:
\( 13 \geq 10^x + 13^{x^2 — 4} \)
Ответ: Да
г) \( 10^{4x — 1} \cdot \lg(x^2 — 4) < 0 \) и \( \lg(x^2 — 4) < 0 \)
Множитель \( 10^{4x — 1} > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Делим обе части на \( 10^{4x — 1} \):
\( \lg(x^2 — 4) < 0 \)
Ответ: Да
а) \( \sin x + 2 \log_3 x > 20 \) и \( \sin x > 20 — 2 \log_3 x \)
1. Запишем исходное неравенство:
\( \sin x + 2 \log_3 x > 20 \)
2. Выразим \( \sin x \) через перенос слагаемого \( 2 \log_3 x \) в правую часть:
\( \sin x > 20 — 2 \log_3 x \)
3. Второе неравенство уже совпадает с полученным:
\( \sin x > 20 — 2 \log_3 x \)
4. Следовательно, оба неравенства эквивалентны:
Ответ: Да
б) \( \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1 \) и \( \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1} \)
1. Рассмотрим первое неравенство:
\( \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1 \)
2. Заметим, что знаменатель \( \sqrt{x^2 + 1} > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как подкоренное выражение всегда положительно.
3. Умножим обе части неравенства на \( \sqrt{x^2 + 1} \) (можно, так как оно всегда положительно):
\( \sin x \geq 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} \)
4. Получаем:
\( \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1} \)
5. Второе неравенство совпадает с тем, что мы получили:
\( \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1} \)
6. Значит, оба неравенства эквивалентны:
Ответ: Да
в) \( 13 — 13^{x^2 — 4} \geq 10^x \) и \( 13 \geq 10^x + 13^{x^2 — 4} \)
1. Начнем с первого неравенства:
\( 13 — 13^{x^2 — 4} \geq 10^x \)
2. Перенесем \( 13^{x^2 — 4} \) в правую часть:
\( 13 \geq 10^x + 13^{x^2 — 4} \)
3. Второе неравенство совпадает с тем, что получили:
\( 13 \geq 10^x + 13^{x^2 — 4} \)
4. Следовательно, оба неравенства эквивалентны:
Ответ: Да
г) \( 10^{4x — 1} \cdot \lg(x^2 — 4) < 0 \) и \( \lg(x^2 — 4) < 0 \)
1. Рассмотрим первое неравенство:
\( 10^{4x — 1} \cdot \lg(x^2 — 4) < 0 \)
2. Заметим, что множитель \( 10^{4x — 1} > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как показатель степени — любое вещественное число, а основание положительное.
3. Разделим обе части неравенства на \( 10^{4x — 1} \) (можно, так как оно положительно):
\( \lg(x^2 — 4) < 0 \)
4. Второе неравенство совпадает с тем, что получили:
\( \lg(x^2 — 4) < 0 \)
5. Следовательно, оба неравенства эквивалентны:
Ответ: Да
