ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \log_{2}^{2} x — 7 \log_{2} x + 12 < 0 \);

б) \( 3 \log_{\frac{1}{3}}^{2} x — 10 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \geq 0 \)

Решить неравенство методом введения новой переменной:

а) \( \log_{2}^{2} x — 7 \log_{2} x + 12 < 0 \);

Пусть \( y = \log_{2} x \), тогда:
\( y^{2} — 7y + 12 < 0 \);
\( D = 7^{2} — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \), тогда:
\( y_{1} = \frac{7 — 1}{2} = 3 \) и \( y_{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4 \);
\( (y — 3)(y — 4) < 0 \);
\( 3 < y < 4 \);
Вернем замену:
\( 3 < \log_{2} x < 4 \);
\( 2^{3} < x < 2^{4} \);
\( 8 < x < 16 \);
Ответ: \( x \in (8; 16) \).

б) \( 3 \log_{\frac{1}{3}}^{2} x — 10 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \geq 0 \);

Пусть \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \), тогда:
\( 3y^{2} — 10y + 3 \geq 0 \);
\( D = 10^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \), тогда:
\( y_{1} = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \);
\( y_{2} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 \);
\( \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 3) \geq 0 \);
\( y \leq \frac{1}{3} \) или \( y \geq 3 \);
Первое значение:
\( \log_{\frac{1}{3}} x \leq \frac{1}{3} \);
\( x \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \);
\( x \geq \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \);
Второе значение:
\( \log_{\frac{1}{3}} x \geq 3 \);
\( 0 < x \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{3} \);
\( 0 < x \leq \frac{1}{27} \);
Ответ: \( x \in \left(0; \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty\right) \).

а) Решить неравенство \( \log_{2}^{2} x — 7 \log_{2} x + 12 < 0 \)

1. Введем новую переменную: \( y = \log_{2} x \). Тогда исходное неравенство примет вид:
\( y^{2} — 7y + 12 < 0 \).

2. Решим квадратное неравенство \( y^{2} — 7y + 12 < 0 \). Для этого найдем дискриминант:
\( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 12 \).
Подставим значения:
\( D = (-7)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения \( y^{2} — 7y + 12 = 0 \) по формуле:
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Подставим значения \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( D = 1 \):
\( y_{1} = \frac{-(-7) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \),
\( y_{2} = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

4. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители:
\( y^{2} — 7y + 12 = (y — 3)(y — 4) \).
Тогда неравенство принимает вид:
\( (y — 3)(y — 4) < 0 \).

5. Решим неравенство \( (y — 3)(y — 4) < 0 \) методом интервалов.
Корни \( y = 3 \) и \( y = 4 \) делят числовую ось на промежутки:
\( (-\infty; 3) \), \( (3; 4) \), \( (4; +\infty) \).
Знаки выражения \( (y — 3)(y — 4) \) на этих промежутках:
— На промежутке \( (-\infty; 3) \): оба множителя отрицательны, произведение положительно;
— На промежутке \( (3; 4) \): один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательно;
— На промежутке \( (4; +\infty) \): оба множителя положительны, произведение положительно.
Таким образом, \( (y — 3)(y — 4) < 0 \) на промежутке \( (3; 4) \).

6. Вернемся к замене \( y = \log_{2} x \). Получаем:
\( 3 < \log_{2} x < 4 \).

7. Преобразуем логарифмическое неравенство к показательной форме:
\( \log_{2} x = 3 \Rightarrow x = 2^{3} = 8 \),
\( \log_{2} x = 4 \Rightarrow x = 2^{4} = 16 \).
Тогда \( 8 < x < 16 \).

Ответ: \( x \in (8; 16) \).

б) Решить неравенство \( 3 \log_{\frac{1}{3}}^{2} x — 10 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 \geq 0 \)

1. Введем новую переменную: \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \). Тогда исходное неравенство примет вид:
\( 3y^{2} — 10y + 3 \geq 0 \).

2. Решим квадратное неравенство \( 3y^{2} — 10y + 3 \geq 0 \). Для этого найдем дискриминант:
\( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -10 \), \( c = 3 \).
Подставим значения:
\( D = (-10)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения \( 3y^{2} — 10y + 3 = 0 \) по формуле:
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Подставим значения \( a = 3 \), \( b = -10 \), \( D = 64 \):
\( y_{1} = \frac{-(-10) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \),
\( y_{2} = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \).

4. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители:
\( 3y^{2} — 10y + 3 = 3 \cdot \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 3) \).
Тогда неравенство принимает вид:
\( 3 \cdot \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 3) \geq 0 \).

5. Решим неравенство \( \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 3) \geq 0 \) методом интервалов.
Корни \( y = \frac{1}{3} \) и \( y = 3 \) делят числовую ось на промежутки:
\( (-\infty; \frac{1}{3}) \), \( \left(\frac{1}{3}; 3\right) \), \( (3; +\infty) \).
Знаки выражения \( \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 3) \) на этих промежутках:
— На промежутке \( (-\infty; \frac{1}{3}) \): оба множителя отрицательны, произведение положительно;
— На промежутке \( \left(\frac{1}{3}; 3\right) \): один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательно;
— На промежутке \( (3; +\infty) \): оба множителя положительны, произведение положительно.
Таким образом, \( \left(y — \frac{1}{3}\right)(y — 3) \geq 0 \) на промежутках \( (-\infty; \frac{1}{3}] \cup [3; +\infty) \).

6. Вернемся к замене \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \). Получаем два случая:
— \( y \leq \frac{1}{3} \):
\( \log_{\frac{1}{3}} x \leq \frac{1}{3} \).
Преобразуем логарифмическое неравенство к показательной форме:
\( x \geq \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \).
— \( y \geq 3 \):
\( \log_{\frac{1}{3}} x \geq 3 \).
Преобразуем логарифмическое неравенство к показательной форме:
\( x \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27} \), при условии \( x > 0 \).

7. Объединим решения:
\( x \in \left(0; \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty\right) \).

Ответ: \( x \in \left(0; \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty\right) \).