ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \log_{2}^{2}(x-1)+3\log_{2}(x-1)+2\geq 0 \);

б) \( 9^{\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+0,1^{\log_{0,1}3}<0 \)

Решить неравенство методом введения новой переменной:

а) \( \log_{2}^{2}(x-1)+3\log_{2}(x-1)+2\geq 0 \);

Пусть \( y=\log_{2}(x-1) \), тогда:
\( y^{2}+3y+2\geq 0 \);
\( D=3^{2}-4\cdot 2=9-8=1 \), тогда:
\( y_{1}=\frac{-3-1}{2}=-2 \) и \( y_{2}=\frac{-3+1}{2}=-1 \);
\( (y+2)(y+1)\geq 0 \);
\( y\leq -2 \) или \( y\geq -1 \);
Первое значение:
\( \log_{2}(x-1)\leq -2 \);
\( 0<x-1\leq 2^{-2} \);
\( 0<x-1\leq \frac{1}{4} \);
\( 1<x\leq 1,25 \);
Второе значение:
\( \log_{2}(x-1)\geq -1 \);
\( x-1\geq 2^{-1} \);
\( x-1\geq \frac{1}{2} \);
\( x\geq 1,5 \);
Ответ: \( x\in(1;1,25]\cup[1,5;+\infty) \).

б) \( 9^{\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+0,1^{\log_{0,1}3}<0 \);
\( 3^{2\log_{0,1}x}-4\cdot 3^{\log_{0,1}x}+3<0 \);
Пусть \( y=3^{\log_{0,1}x} \), тогда:
\( y^{2}-4y+3<0 \);
\( D=4^{2}-4\cdot 3=16-12=4 \), тогда:
\( y_{1}=\frac{4-2}{2}=1 \) и \( y_{2}=\frac{4+2}{2}=3 \);
\( (y-1)(y-3)<0 \);
\( 1<y<3 \);
Вернем замену:
\( 1<3^{\log_{0,1}x}<3 \);
\( 3^{0}<3^{\log_{0,1}x}<3^{1} \);
\( 0<\log_{0,1}x<1 \);
\( 0,1^{1}<x<0,1^{0} \);
\( 0,1<x<1 \);
Ответ: \( x\in(0,1;1) \).

а) Решить неравенство \( \log_{2}^{2}(x-1) + 3\log_{2}(x-1) + 2 \geq 0 \)

1. Введем новую переменную:
Пусть \( y = \log_{2}(x-1) \).
Тогда исходное неравенство принимает вид:
\( y^{2} + 3y + 2 \geq 0 \).

2. Решим квадратное неравенство \( y^{2} + 3y + 2 \geq 0 \).
Для этого найдем дискриминант по формуле:
\( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \).
Подставим значения:
\( D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения \( y^{2} + 3y + 2 = 0 \) по формуле:
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Подставим значения \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( D = 1 \):
\( y_{1} = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \),
\( y_{2} = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \).

4. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители:
\( y^{2} + 3y + 2 = (y + 2)(y + 1) \).
Тогда неравенство принимает вид:
\( (y + 2)(y + 1) \geq 0 \).

5. Решим неравенство \( (y + 2)(y + 1) \geq 0 \) методом интервалов.
Корни \( y = -2 \) и \( y = -1 \) делят числовую ось на промежутки:
\( (-\infty; -2) \), \( (-2; -1) \), \( (-1; +\infty) \).
Знаки выражения \( (y + 2)(y + 1) \) на этих промежутках:
— На промежутке \( (-\infty; -2) \): оба множителя отрицательны, произведение положительно;
— На промежутке \( (-2; -1) \): один множитель положителен, другой отрицателен, произведение отрицательно;
— На промежутке \( (-1; +\infty) \): оба множителя положительны, произведение положительно.
Таким образом, \( (y + 2)(y + 1) \geq 0 \) на промежутках \( (-\infty; -2] \cup [-1; +\infty) \).

6. Вернемся к замене \( y = \log_{2}(x-1) \).
Получаем два случая:
— \( \log_{2}(x-1) \leq -2 \):
Преобразуем логарифмическое неравенство к показательной форме:
\( x-1 \leq 2^{-2} \).
\( x-1 \leq \frac{1}{4} \).
\( x \leq 1,25 \).
Учитывая условие \( x-1 > 0 \), получаем \( x > 1 \).
Тогда \( x \in (1; 1,25] \).
— \( \log_{2}(x-1) \geq -1 \):
Преобразуем логарифмическое неравенство к показательной форме:
\( x-1 \geq 2^{-1} \).
\( x-1 \geq \frac{1}{2} \).
\( x \geq 1,5 \).
Тогда \( x \in [1,5; +\infty) \).

7. Объединим решения двух случаев:
\( x \in (1; 1,25] \cup [1,5; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (1; 1,25] \cup [1,5; +\infty) \).

б) Решить неравенство \( 9^{\log_{0,1}x} — 4 \cdot 3^{\log_{0,1}x} + 0,1^{\log_{0,1}3} < 0 \)

1. Преобразуем выражение:
\( 9^{\log_{0,1}x} = (3^{2})^{\log_{0,1}x} = 3^{2\log_{0,1}x} \),
\( 0,1^{\log_{0,1}3} = 3^{\log_{0,1}x} \).
Тогда неравенство принимает вид:
\( 3^{2\log_{0,1}x} — 4 \cdot 3^{\log_{0,1}x} + 3 < 0 \).

2. Введем новую переменную:
Пусть \( y = 3^{\log_{0,1}x} \).
Тогда неравенство принимает вид:
\( y^{2} — 4y + 3 < 0 \).

3. Решим квадратное неравенство \( y^{2} — 4y + 3 < 0 \).
Найдем дискриминант по формуле:
\( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \).
Подставим значения:
\( D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \).

4. Найдем корни квадратного уравнения \( y^{2} — 4y + 3 = 0 \) по формуле:
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Подставим значения \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( D = 4 \):
\( y_{1} = \frac{4 — 2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \),
\( y_{2} = \frac{4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \).

5. Запишем разложение квадратного трехчлена на множители:
\( y^{2} — 4y + 3 = (y — 1)(y — 3) \).
Тогда неравенство принимает вид:
\( (y — 1)(y — 3) < 0 \).

6. Решим неравенство \( (y — 1)(y — 3) < 0 \) методом интервалов.
Корни \( y = 1 \) и \( y = 3 \) делят числовую ось на промежутки:
\( (-\infty; 1) \), \( (1; 3) \), \( (3; +\infty) \).
Знаки выражения \( (y — 1)(y — 3) \) на этих промежутках:
— На промежутке \( (-\infty; 1) \): оба множителя отрицательны, произведение положительно;
— На промежутке \( (1; 3) \): один множитель положителен, другой отрицателен, произведение отрицательно;
— На промежутке \( (3; +\infty) \): оба множителя положительны, произведение положительно.
Таким образом, \( (y — 1)(y — 3) < 0 \) на промежутке \( (1; 3) \).

7. Вернемся к замене \( y = 3^{\log_{0,1}x} \).
Получаем:
\( 1 < 3^{\log_{0,1}x} < 3 \).
Преобразуем выражение к показательной форме:
\( 3^{0} < 3^{\log_{0,1}x} < 3^{1} \).
\( 0 < \log_{0,1}x < 1 \).
Преобразуем логарифмическое неравенство к показательной форме:
\( 0,1^{1} < x < 0,1^{0} \).
\( 0,1 < x < 1 \).

Ответ: \( x \in (0,1; 1) \).