ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( 2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1 \leq 0 \);

б) \( \cos^2 x — 5 \cos x + 4 \leq 0 \)

Решить неравенство методом введения новой переменной:

а) \( 2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1 \leq 0 \);

Пусть \( y = \sin x \), тогда:
\( 2y^2 — 3y + 1 \leq 0 \);

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \), тогда:
\( y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \);
\( y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \);

\( \left( y — \frac{1}{2} \right)(y — 1) \leq 0 \);

\( \frac{1}{2} \leq y \leq 1 \);

Вернем замену:
\( \frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1 \);

\( \sin x \geq \frac{1}{2} \);

\( \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n \leq x \leq \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n \);

\( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \);

Ответ: \( x \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right] \).

б) \( \cos^2 x — 5 \cos x + 4 \leq 0 \);

Пусть \( y = \cos x \), тогда:
\( y^2 — 5y + 4 \leq 0 \);

\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \), тогда:
\( y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \) и \( y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \);

\( (y — 1)(y — 4) \leq 0 \);

\( 1 \leq y \leq 4 \);

Вернем замену:
\( 1 \leq \cos x \leq 4 \);

\( \cos x = 1 \);

\( x = 2\pi n \);

Ответ: \( x \in \{ 2\pi n \} \).

а) \( 2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1 \leq 0 \)

1. Пусть \( y = \sin x \). Тогда неравенство примет вид:
\( 2y^2 — 3y + 1 \leq 0 \).

2. Найдем дискриминант квадратного уравнения:
\( D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения:
\( y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \),
\( y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).

4. Разложим квадратный трехчлен на множители:
\( 2y^2 — 3y + 1 = 2 \cdot (y — \frac{1}{2}) \cdot (y — 1) \).
Тогда неравенство примет вид:
\( (y — \frac{1}{2})(y — 1) \leq 0 \).

5. Решим неравенство методом интервалов:
Корни уравнения \( y = \frac{1}{2} \) и \( y = 1 \) делят числовую ось на три интервала:
\((-\infty; \frac{1}{2})\), \([\frac{1}{2}; 1]\), \((1; +\infty)\).
На интервале \([\frac{1}{2}; 1]\) выражение \( (y — \frac{1}{2})(y — 1) \) отрицательно или равно нулю.
Таким образом, \( \frac{1}{2} \leq y \leq 1 \).

6. Вернем замену \( y = \sin x \):
\( \frac{1}{2} \leq \sin x \leq 1 \).

7. Решим неравенство для функции синуса:
\( \sin x = \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Учитывая, что \( \sin x \leq 1 \), получаем:
\( x \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right] \).

Ответ: \( x \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right] \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) \( \cos^2 x — 5 \cos x + 4 \leq 0 \)

1. Пусть \( y = \cos x \). Тогда неравенство примет вид:
\( y^2 — 5y + 4 \leq 0 \).

2. Найдем дискриминант квадратного уравнения:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \).

3. Найдем корни квадратного уравнения:
\( y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 3}{2} = 1 \),
\( y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).

4. Разложим квадратный трехчлен на множители:
\( y^2 — 5y + 4 = (y — 1)(y — 4) \).
Тогда неравенство примет вид:
\( (y — 1)(y — 4) \leq 0 \).

5. Решим неравенство методом интервалов:
Корни уравнения \( y = 1 \) и \( y = 4 \) делят числовую ось на три интервала:
\((-\infty; 1)\), \([1; 4]\), \((4; +\infty)\).
На интервале \([1; 4]\) выражение \( (y — 1)(y — 4) \) отрицательно или равно нулю.
Таким образом, \( 1 \leq y \leq 4 \).

6. Вернем замену \( y = \cos x \):
\( 1 \leq \cos x \leq 4 \).

7. Учитывая, что \( \cos x \leq 1 \), единственное значение удовлетворяющее \( \cos x = 1 \):
\( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x \in \{ 2\pi n \} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).