Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:
а) \(3^x > 12 — 1,5x\)
б) \(2^x > \sqrt{x}\)
в) \(3^x \le 12 — 1,5x\)
г) \(2^x \le \sqrt{x}\)
Решить неравенство, применяя функционально-графические методы:
а) \(3^x > 12 — 1,5x\)
Выражение имеет смысл при:
\(x \in R\).
Разделим неравенство на две функции:
\(y = 3^x\) — возрастает при \(x \in R\);
\(g = 12 — 1,5x\) — убывает при \(x \in R\).
Методом перебора найдем точку пересечения:
\(y(2) = 3^2 = 9\);
\(g(2) = 12 — 1,5 \cdot 2 = 12 — 3 = 9\).
Ответ: \(x \in (2; +\infty)\).
б) \(2^x > \sqrt{x}\)
\(y = 2^x\) — показательная функция:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 4 |
\(y = \sqrt{x}\) — уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\).
| \(x\) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 3 |
Выражение имеет смысл при:
\(x \ge 0\).
Графики функций:
Ответ: \(x \in [0; +\infty)\).
в) \(3^x \le 12 — 1,5x\)
Выражение имеет смысл при:
\(x \in R\).
Разделим неравенство на две функции:
\(y = 3^x\) — возрастает при \(x \in R\);
\(g = 12 — 1,5x\) — убывает при \(x \in R\).
Методом перебора найдем точку пересечения:
\(y(2) = 3^2 = 9\);
\(g(2) = 12 — 1,5 \cdot 2 = 12 — 3 = 9\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 2]\).
г) \(2^x \le \sqrt{x}\)
\(y = 2^x\) — показательная функция:
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 4 |
\(y = \sqrt{x}\) — уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\).
| \(x\) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 3 |
Выражение имеет смысл при:
\(x \ge 0\).
Графики функций:
Ответ: \(x \in ø\).
а) \(3^x > 12 — 1,5x\)
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение имеет смысл при:
\(x \in R\), так как обе функции определены на всей числовой оси.
Шаг 2: Разделим неравенство на две функции:
- \(y = 3^x\) — показательная функция, которая возрастает при \(x \in R\);
- \(g = 12 — 1,5x\) — линейная функция, которая убывает при \(x \in R\).
Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков методом подстановки.
- Подставим \(x = 2\):
- \(y(2) = 3^2 = 9\);
- \(g(2) = 12 — 1,5 \cdot 2 = 12 — 3 = 9\).
Точка пересечения графиков — \(x = 2\).
Шаг 4: Анализ поведения функций.
Функция \(y = 3^x\) возрастает быстрее, чем функция \(g = 12 — 1,5x\), начиная с точки пересечения \(x = 2\).
Следовательно, неравенство \(3^x > 12 — 1,5x\) выполняется при \(x > 2\).
Ответ: \(x \in (2; +\infty)\).
б) \(2^x > \sqrt{x}\)
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение имеет смысл при:
\(x \ge 0\), так как функция \(y = \sqrt{x}\) определена только для неотрицательных значений \(x\).
Шаг 2: Разделим неравенство на две функции:
- \(y = 2^x\) — показательная функция, которая возрастает при \(x \ge 0\);
- \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, которая возрастает при \(x \ge 0\).
Шаг 3: Построим таблицу значений для обеих функций.
Для функции \(y = 2^x\):
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 4 |
Для функции \(y = \sqrt{x}\):
| \(x\) | 0 | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
Шаг 4: Анализ поведения функций.
Функция \(y = 2^x\) возрастает быстрее, чем функция \(y = \sqrt{x}\), начиная с точки \(x = 0\).
Следовательно, неравенство \(2^x > \sqrt{x}\) выполняется для всех \(x \ge 0\).
Ответ: \(x \in [0; +\infty)\).
в) \(3^x \le 12 — 1,5x\)
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение имеет смысл при:
\(x \in R\), так как обе функции определены на всей числовой оси.
Шаг 2: Разделим неравенство на две функции:
- \(y = 3^x\) — показательная функция, которая возрастает при \(x \in R\);
- \(g = 12 — 1,5x\) — линейная функция, которая убывает при \(x \in R\).
Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков методом подстановки.
- Подставим \(x = 2\):
- \(y(2) = 3^2 = 9\);
- \(g(2) = 12 — 1,5 \cdot 2 = 12 — 3 = 9\).
Точка пересечения графиков — \(x = 2\).
Шаг 4: Анализ поведения функций.
Функция \(y = 3^x\) возрастает, а функция \(g = 12 — 1,5x\) убывает. Неравенство \(3^x \le 12 — 1,5x\) выполняется для всех \(x \le 2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 2]\).
г) \(2^x \le \sqrt{x}\)
Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение имеет смысл при:
\(x \ge 0\), так как функция \(y = \sqrt{x}\) определена только для неотрицательных значений \(x\).
Шаг 2: Разделим неравенство на две функции:
- \(y = 2^x\) — показательная функция, которая возрастает при \(x \ge 0\);
- \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, которая возрастает при \(x \ge 0\).
Шаг 3: Построим таблицу значений для обеих функций.
Для функции \(y = 2^x\):
| \(x\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 4 |
Для функции \(y = \sqrt{x}\):
| \(x\) | 0 | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
Шаг 4: Анализ поведения функций.
Функция \(y = 2^x\) возрастает быстрее, чем функция \(y = \sqrt{x}\). Точка пересечения отсутствует.
Следовательно, неравенство \(2^x \le \sqrt{x}\) не имеет решений.
Ответ: \(x \in ø\).
