ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(x^{2} + 1 \geq \cos x\);

б) \(\sin x \leq -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);

в) \(x^{2} + 1 \leq \cos x\);

г) \(\sin x \geq -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\)

Решить неравенство, применяя функционально-графические методы:

а) \(x^{2} + 1 \geq \cos x\);

Разделим уравнение на две функции:
\(y = x^{2} + 1\);
\(g = \cos x\);

Наименьшее значение функции \(y(x)\):
\(x_{0} = 0\);
\(y(0) = 0^{2} + 1 = 1\);

Наибольшее значение функции \(g(x)\):
\(\cos x \leq 1\);

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

б) \(\sin x \leq -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);

Разделим уравнение на две функции:
\(y = -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);
\(g = \sin x\);

Наибольшее значение функции \(y(x)\):
\(x_{0} = -\frac{\pi}{2}\);
\(y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -0^{2} — 1 = -1\);

Наименьшее значение функции \(g(x)\):
\(\sin x \geq -1\);
\(g\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1\);

Ответ: \(x \in \left(-\frac{\pi}{2}\right).\)

в) \(x^{2} + 1 \leq \cos x\);

Разделим уравнение на две функции:
\(y = x^{2} + 1\);
\(g = \cos x\);

Наименьшее значение функции \(y(x)\):
\(x_{0} = 0\);
\(y(0) = 0^{2} + 1 = 1\);

Наибольшее значение функции \(g(x)\):
\(\cos x \leq 1\);
\(g(0) = \cos 0 = 1\);

Ответ: \(x \in \{0\}.\)

г) \(\sin x \geq -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);

Разделим уравнение на две функции:
\(y = -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);
\(g = \sin x\);

Наибольшее значение функции \(y(x)\):
\(x_{0} = -\frac{\pi}{2}\);
\(y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -0^{2} — 1 = -1\);

Наименьшее значение функции \(g(x)\):
\(\sin x \geq -1\);

Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty).\)

а) \(x^{2} + 1 \geq \cos x\)

Разделим уравнение на две функции:

\(y = x^{2} + 1\);

\(g = \cos x\).

Рассмотрим свойства функции \(y(x) = x^{2} + 1\):

• Функция \(y(x)\) является квадратичной, поэтому она определена на всей числовой оси (\(-\infty; +\infty\)).
• График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.
• Наименьшее значение функции \(y(x)\) достигается в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке \(x_{0} = 0\).
• Подставим \(x_{0} = 0\) в функцию \(y(x)\):

\(y(0) = 0^{2} + 1 = 1\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y(x)\) равно \(1\).

Рассмотрим свойства функции \(g(x) = \cos x\):

Функция \(g(x)\) является периодической с периодом \(2\pi\).

Наибольшее значение функции \(g(x)\) равно \(1\), а наименьшее значение — \(-1\).

Таким образом, \(\cos x \leq 1\).

Сравним значения функций \(y(x)\) и \(g(x)\):

• Наименьшее значение функции \(y(x)\) равно \(1\), что совпадает с наибольшим значением функции \(g(x)\).
• Поскольку \(y(x) \geq g(x)\) для всех \(x \in (-\infty; +\infty)\), решение неравенства:

\(x \in (-\infty; +\infty)\).

б) \(\sin x \leq -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\)

Разделим уравнение на две функции:

\(y = -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);

\(g = \sin x\).

Рассмотрим свойства функции \(y(x) = -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\):

• Функция \(y(x)\) является квадратичной с отрицательным коэффициентом перед \(x^{2}\), поэтому график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз.
• Наибольшее значение функции \(y(x)\) достигается в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке \(x_{0} = -\frac{\pi}{2}\).
• Подставим \(x_{0} = -\frac{\pi}{2}\) в функцию \(y(x)\):

\(y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1 = -0^{2} — 1 = -1\).

Таким образом, наибольшее значение функции \(y(x)\) равно \(-1\).

Рассмотрим свойства функции \(g(x) = \sin x\):

• Функция \(g(x)\) является периодической с периодом \(2\pi\).
• Наибольшее значение функции \(g(x)\) равно \(1\), а наименьшее значение — \(-1\).
• В точке \(x = -\frac{\pi}{2}\) значение функции \(g(x)\) равно:

\(g\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1\).

Сравним значения функций \(y(x)\) и \(g(x)\):

• Наибольшее значение функции \(y(x)\) равно \(-1\), что совпадает с наименьшим значением функции \(g(x)\).
• Поскольку \(\sin x \leq y(x)\) выполняется только в точке \(x = -\frac{\pi}{2}\), решение неравенства:

\(x \in \left\{-\frac{\pi}{2}\right\}.\)

в) \(x^{2} + 1 \leq \cos x\)

Разделим уравнение на две функции:

\(y = x^{2} + 1\);

\(g = \cos x\).

Рассмотрим свойства функции \(y(x) = x^{2} + 1\):

• Функция \(y(x)\) является квадратичной, поэтому она определена на всей числовой оси (\(-\infty; +\infty\)).
• График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх.
• Наименьшее значение функции \(y(x)\) достигается в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке \(x_{0} = 0\).
• Подставим \(x_{0} = 0\) в функцию \(y(x)\):

\(y(0) = 0^{2} + 1 = 1\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y(x)\) равно \(1\).

Рассмотрим свойства функции \(g(x) = \cos x\):

• Функция \(g(x)\) является периодической с периодом \(2\pi\).
• Наибольшее значение функции \(g(x)\) равно \(1\), а наименьшее значение — \(-1\).
• В точке \(x = 0\) значение функции \(g(x)\) равно:

\(g(0) = \cos 0 = 1\).

Сравним значения функций \(y(x)\) и \(g(x)\):

• Наименьшее значение функции \(y(x)\) равно \(1\), что совпадает с наибольшим значением функции \(g(x)\).
• Поскольку \(y(x) \leq g(x)\) выполняется только в точке \(x = 0\), решение неравенства:

\(x \in \{0\}.\)

г) \(\sin x \geq -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\)

Разделим уравнение на две функции:

\(y = -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\);

\(g = \sin x\).

Рассмотрим свойства функции \(y(x) = -\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1\):

• Функция \(y(x)\) является квадратичной с отрицательным коэффициентом перед \(x^{2}\), поэтому график функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз.
• Наибольшее значение функции \(y(x)\) достигается в вершине параболы. Вершина параболы находится в точке \(x_{0} = -\frac{\pi}{2}\).
• Подставим \(x_{0} = -\frac{\pi}{2}\) в функцию \(y(x)\):

\(y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\left(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right)^{2} — 1 = -0^{2} — 1 = -1\).

Таким образом, наибольшее значение функции \(y(x)\) равно \(-1\).

Рассмотрим свойства функции \(g(x) = \sin x\):

Функция \(g(x)\) является периодической с периодом \(2\pi\).

Наибольшее значение функции \(g(x)\) равно \(1\), а наименьшее значение — \(-1\).

Сравним значения функций \(y(x)\) и \(g(x)\):

• Наибольшее значение функции \(y(x)\) равно \(-1\), что совпадает с наименьшим значением функции \(g(x)\).
• Поскольку \(\sin x \geq y(x)\) выполняется для всех \(x \in (-\infty; +\infty)\), решение неравенства:

\(x \in (-\infty; +\infty).\)