Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите неравенство:
а) \(9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq 4\frac{1}{3}\)
б) \(8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq 24\frac{1}{2}\)
Решить неравенство:
а) \(9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq 4\frac{1}{3}\)
\(3^{2(x+2)} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq \frac{4 \cdot 3 + 1}{3}\)
\(3^{2x+4} + 4 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2 \geq \frac{12 + 1}{3}\)
\(3^{2x} \cdot 3^4 + 4 \cdot 9 \cdot 3^{2x} \geq \frac{13}{3}\)
\(81 \cdot 3^{2x} + 36 \cdot 3^{2x} \geq \frac{13}{3}\)
\(117 \cdot 3^{2x} \geq \frac{13}{3} \quad | : 117\)
\(3^{2x} \geq \frac{1}{27}\)
\(3^{2x} \geq 3^{-3}\)
\(2x \geq -3\)
\(x \geq -1,5\)
Ответ: \(x \in [-1,5; +\infty)\).
б) \(8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq 24\frac{1}{2}\)
\(2^{3(x-2)} + 3 \cdot \frac{2^{3x}}{2^2} \leq \frac{24 \cdot 2 + 1}{2}\)
\(2^{3x-6} + \frac{3}{4} \cdot 2^{3x} \leq \frac{48 + 1}{2}\)
\(\frac{2^{3x}}{2^6} + \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 16} \cdot 2^{3x} \leq \frac{49}{2}\)
\(\frac{2^{3x}}{64} + \frac{48 \cdot 2^{3x}}{64} \leq \frac{49}{2}\)
\(\frac{49 \cdot 2^{3x}}{64} \leq \frac{49}{2} \quad | \cdot \frac{64}{49}\)
\(2^{3x} \leq 32\)
\(2^{3x} \leq 2^5\)
\(3x \leq 5\)
\(x \leq 1\frac{2}{3}\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1\frac{2}{3}]\).
а) \(9^{x+2} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq 4\frac{1}{3}\)
Рассмотрим первое слагаемое \(9^{x+2}\). Заметим, что \(9 = 3^2\), поэтому \(9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)}\).
Подставим это выражение в исходное неравенство:
\(3^{2(x+2)} + 4 \cdot 3^{2x+2} \geq 4\frac{1}{3}\).
Рассмотрим второе слагаемое \(4 \cdot 3^{2x+2}\). Заметим, что \(3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2\). Тогда:
\(3^{2(x+2)} + 4 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2 \geq 4\frac{1}{3}\).
Приведем правую часть к дроби: \(4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{12 + 1}{3} = \frac{13}{3}\).
Теперь неравенство имеет вид:
\(3^{2(x+2)} + 4 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2 \geq \frac{13}{3}\).
Перепишем первое слагаемое \(3^{2(x+2)}\) как \(3^{2x} \cdot 3^4\), так как \(3^{2(x+2)} = 3^{2x} \cdot 3^{4}\). Тогда:
\(3^{2x} \cdot 3^4 + 4 \cdot 9 \cdot 3^{2x} \geq \frac{13}{3}\).
Вычислим коэффициенты перед \(3^{2x}\): \(3^4 = 81\), \(4 \cdot 9 = 36\). Тогда:
\(81 \cdot 3^{2x} + 36 \cdot 3^{2x} \geq \frac{13}{3}\).
Сложим коэффициенты перед \(3^{2x}\): \(81 + 36 = 117\). Тогда:
\(117 \cdot 3^{2x} \geq \frac{13}{3} \quad | : 117\).
Разделим обе части на \(117\):
\(3^{2x} \geq \frac{13}{3 \cdot 117} = \frac{13}{351}\).
Заметим, что \(\frac{13}{351} = \frac{1}{27}\). Тогда:
\(3^{2x} \geq \frac{1}{27}\).
Представим \(\frac{1}{27}\) как степень тройки: \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\). Тогда:
\(3^{2x} \geq 3^{-3}.\)
Так как основания одинаковы, сравним показатели степеней:
\(2x \geq -3.\)
Разделим обе части на \(2\):
\(x \geq -1,5.\)
Ответ: \(x \in [-1,5; +\infty).\)
б) \(8^{x-2} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq 24\frac{1}{2}\)
Рассмотрим первое слагаемое \(8^{x-2}\). Заметим, что \(8 = 2^3\), поэтому \(8^{x-2} = (2^3)^{x-2} = 2^{3(x-2)}\).
Подставим это выражение в исходное неравенство:
\(2^{3(x-2)} + 3 \cdot 2^{3x-2} \leq 24\frac{1}{2}.\)
Рассмотрим второе слагаемое \(3 \cdot 2^{3x-2}\). Заметим, что \(2^{3x-2} = \frac{2^{3x}}{2^2}\). Тогда:
\(2^{3(x-2)} + 3 \cdot \frac{2^{3x}}{2^2} \leq 24\frac{1}{2}.\)
Приведем правую часть к дроби: \(24\frac{1}{2} = \frac{24 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{48 + 1}{2} = \frac{49}{2}.\)
Теперь неравенство имеет вид:
\(2^{3(x-2)} + \frac{3}{4} \cdot 2^{3x} \leq \frac{49}{2}.\)
Перепишем \(2^{3(x-2)}\) как \(\frac{2^{3x}}{2^6}\), так как \(2^{3(x-2)} = \frac{2^{3x}}{2^6}\). Тогда:
\(\frac{2^{3x}}{2^6} + \frac{3}{4} \cdot 2^{3x} \leq \frac{49}{2}.\)
Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(2^6 = 64\), тогда:
\(\frac{2^{3x}}{64} + \frac{48 \cdot 2^{3x}}{64} \leq \frac{49}{2}.\)
Сложим дроби в левой части: \(1 + 48 = 49\). Тогда:
\(\frac{49 \cdot 2^{3x}}{64} \leq \frac{49}{2} \quad | \cdot \frac{64}{49}.\)
Умножим обе части на \(\frac{64}{49}\):
\(2^{3x} \leq 32.\)
Представим \(32\) как степень двойки: \(32 = 2^5\). Тогда:
\(2^{3x} \leq 2^5.\)
Так как основания одинаковы, сравним показатели степеней:
\(3x \leq 5.\)
Разделим обе части на \(3\):
\(x \leq 1\frac{2}{3}.\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 1\frac{2}{3}].\)
