Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите неравенство:
а) \(4^{\sqrt{x}} — 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0\)
б) \(9^{\sqrt{x}} — 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0\)
Решить неравенство:
а) \(4^{\sqrt{x}} — 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0\)
\(2^{2\sqrt{x}} — 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0\)
Пусть \(y = 2^{\sqrt{x}}\), тогда:
\(y^2 — 9y + 8 < 0\)
\(D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\), тогда:
\(y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8\)
\((y — 1)(y — 8) < 0\)
\(1 < y < 8\)
Вернем замену:
\(1 < 2^{\sqrt{x}} < 8\)
\(2^0 < 2^{\sqrt{x}} < 2^3\)
\(0 < \sqrt{x} < 3\)
\(0 < x < 9\)
Ответ: \(x \in (0; 9)\).
б) \(9^{\sqrt{x}} — 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0\)
\(3^{2\sqrt{x}} — 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0\)
Пусть \(y = 3^{\sqrt{x}}\), тогда:
\(y^2 — 10y + 9 < 0\)
\(D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64\), тогда:
\(y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1\) и \(y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9\)
\((y — 1)(y — 9) < 0\)
\(1 < y < 9\)
Вернем замену:
\(1 < 3^{\sqrt{x}} < 9\)
\(3^0 < 3^{\sqrt{x}} < 3^2\)
\(0 < \sqrt{x} < 2\)
\(0 < x < 4\)
Ответ: \(x \in (0; 4)\).
а) \(4^{\sqrt{x}} — 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0\)
Заметим, что \(4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = 2^{2\sqrt{x}}\). Подставим это в исходное неравенство:
\(2^{2\sqrt{x}} — 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 < 0\).
Введем замену: пусть \(y = 2^{\sqrt{x}}\). Тогда \(2^{2\sqrt{x}} = y^2\), и неравенство примет вид:
\(y^2 — 9y + 8 < 0\).
Рассмотрим квадратное уравнение \(y^2 — 9y + 8 = 0\) и найдем его дискриминант:
\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\).
Корни уравнения находятся по формуле:
\(y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 — 7}{2} = 1\),
\(y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 7}{2} = 8\).
Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((y — 1)(y — 8) < 0\).
Решим неравенство методом интервалов. Корни \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 8\) разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty; 1)\), \((1; 8)\), \((8; +\infty)\). Проверим знак выражения на каждом из интервалов:
- На интервале \(y \in (-\infty; 1)\): оба множителя отрицательны, их произведение положительно.
- На интервале \(y \in (1; 8)\): первый множитель положителен, второй отрицателен, их произведение отрицательно.
- На интервале \(y \in (8; +\infty)\): оба множителя положительны, их произведение положительно.
Неравенство выполняется на интервале \(y \in (1; 8)\).
Вернемся к замене \(y = 2^{\sqrt{x}}\):
\(1 < 2^{\sqrt{x}} < 8\).
Представим числа \(1\) и \(8\) как степени двойки: \(1 = 2^0\), \(8 = 2^3\). Тогда:
\(2^0 < 2^{\sqrt{x}} < 2^3\).
Поскольку основания одинаковы, сравним показатели степеней:
\(0 < \sqrt{x} < 3\).
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\(0 < x < 9\).
Ответ: \(x \in (0; 9)\).
б) \(9^{\sqrt{x}} — 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0\)
Заметим, что \(9^{\sqrt{x}} = (3^2)^{\sqrt{x}} = 3^{2\sqrt{x}}\). Подставим это в исходное неравенство:
\(3^{2\sqrt{x}} — 10 \cdot 3^{\sqrt{x}} + 9 < 0\).
Введем замену: пусть \(y = 3^{\sqrt{x}}\). Тогда \(3^{2\sqrt{x}} = y^2\), и неравенство примет вид:
\(y^2 — 10y + 9 < 0\).
Рассмотрим квадратное уравнение \(y^2 — 10y + 9 = 0\) и найдем его дискриминант:
\(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64\).
Корни уравнения находятся по формуле:
\(y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 — 8}{2} = 1\),
\(y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2} = 9\).
Разложим квадратный трехчлен на множители:
\((y — 1)(y — 9) < 0\).
Решим неравенство методом интервалов. Корни \(y_1 = 1\) и \(y_2 = 9\) разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty; 1)\), \((1; 9)\), \((9; +\infty)\). Проверим знак выражения на каждом из интервалов:
- На интервале \(y \in (-\infty; 1)\): оба множителя отрицательны, их произведение положительно.
- На интервале \(y \in (1; 9)\): первый множитель положителен, второй отрицателен, их произведение отрицательно.
- На интервале \(y \in (9; +\infty)\): оба множителя положительны, их произведение положительно.
Неравенство выполняется на интервале \(y \in (1; 9)\).
Вернемся к замене \(y = 3^{\sqrt{x}}\):
\(1 < 3^{\sqrt{x}} < 9\).
Представим числа \(1\) и \(9\) как степени тройки: \(1 = 3^0\), \(9 = 3^2\). Тогда:
\(3^0 < 3^{\sqrt{x}} < 3^2\).
Поскольку основания одинаковы, сравним показатели степеней:
\(0 < \sqrt{x} < 2\).
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\(0 < x < 4\).
Ответ: \(x \in (0; 4)\).
