ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \((x — 2) \cdot \log_4(x + 2) \geq 0\)

б) \((3 — x) \cdot \sqrt{\log_3(x + 5)} \leq 0\)

Решить неравенство:

а) \((x — 2) \cdot \log_4(x + 2) \geq 0\)

Первая система неравенств:

\(\begin{cases} x — 2 \geq 0 \\ \log_4(x + 2) \geq 0 \end{cases}\);

\(\begin{cases} x \geq 2 \\ x + 2 \geq 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \geq 2 \\ x \geq -1 \end{cases} ⇒ x \geq 2\);

Вторая система неравенств:

\(\begin{cases} x — 2 \leq 0 \\ \log_4(x + 2) \leq 0 \end{cases}\);

\(\begin{cases} x \leq 2 \\ 0 < x + 2 \leq 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \leq 2 \\ -2 < x \leq -1 \end{cases} ⇒ -2 < x \leq -1\);

Ответ: \(x \in (-2; -1] \cup [2; +\infty)\).

б) \((3 — x) \cdot \sqrt{\log_3(x + 5)} \leq 0\)

\(\begin{cases} 3 — x \leq 0 \\ \log_3(x + 5) = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \geq 3 \\ x + 5 = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \geq 3 \\ x = -4 \end{cases}\);

Выражение имеет смысл при:

\(\log_3(x + 5) \geq 0\);

\(x + 5 \geq 1\);

\(x \geq -4\);

Ответ: \(x \in \{-4\} \cup [3; +\infty)\).

а) \((x — 2) \cdot \log_4(x + 2) \geq 0\)

Рассмотрим произведение двух множителей: \((x — 2)\) и \(\log_4(x + 2)\). Произведение будет неотрицательным, если оба множителя одновременно неотрицательны или оба одновременно отрицательны.

Первая система неравенств:

\(\begin{cases} x — 2 \geq 0 \\ \log_4(x + 2) \geq 0 \end{cases}\).

Первое неравенство: \(x — 2 \geq 0\) ⇒ \(x \geq 2\).

Второе неравенство: \(\log_4(x + 2) \geq 0\). Заметим, что логарифм будет неотрицательным, если его аргумент больше или равен единице: \(x + 2 \geq 1\) ⇒ \(x \geq -1\).

Объединяя оба условия, получаем:

\(\begin{cases} x \geq 2 \\ x \geq -1 \end{cases} ⇒ x \geq 2\).

Вторая система неравенств:

\(\begin{cases} x — 2 \leq 0 \\ \log_4(x + 2) \leq 0 \end{cases}\).

Первое неравенство: \(x — 2 \leq 0\) ⇒ \(x \leq 2\).

Второе неравенство: \(\log_4(x + 2) \leq 0\). Заметим, что логарифм будет отрицательным, если его аргумент находится в интервале \(0 < x + 2 < 1\). Это дает два условия: \(x + 2 > 0\) и \(x + 2 \leq 1\).

Первое условие: \(x + 2 > 0\) ⇒ \(x > -2\).

Второе условие: \(x + 2 \leq 1\) ⇒ \(x \leq -1\).

Объединяя оба условия, получаем:

\(\begin{cases} x \leq 2 \\ -2 < x \leq -1 \end{cases} ⇒ -2 < x \leq -1\).

Объединение решений:

Решения из двух систем: \(x \geq 2\) и \(-2 < x \leq -1\). Объединяя, получаем:

Ответ: \(x \in (-2; -1] \cup [2; +\infty)\).

б) \((3 — x) \cdot \sqrt{\log_3(x + 5)} \leq 0\)

Рассмотрим произведение двух множителей: \((3 — x)\) и \(\sqrt{\log_3(x + 5)}\). Произведение будет неположительным, если один из множителей равен нулю или их знаки противоположны.

Первый случай: один из множителей равен нулю.

1. \((3 — x) = 0\) ⇒ \(x = 3\).

2. \(\sqrt{\log_3(x + 5)} = 0\). Поскольку квадратный корень равен нулю, его подкоренное выражение также равно нулю: \(\log_3(x + 5) = 0\).

Решим уравнение \(\log_3(x + 5) = 0\):

\(x + 5 = 3^0\) ⇒ \(x + 5 = 1\) ⇒ \(x = -4\).

Таким образом, \(x = 3\) или \(x = -4\).

Второй случай: знаки множителей противоположны.

1. \((3 — x) > 0\) и \(\sqrt{\log_3(x + 5)} < 0\). Этот случай невозможен, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

2. \((3 — x) < 0\) и \(\sqrt{\log_3(x + 5)} > 0\). Для выполнения этих условий:

— \((3 — x) < 0\) ⇒ \(x > 3\);

— \(\sqrt{\log_3(x + 5)} > 0\). Квадратный корень положителен, если его подкоренное выражение положительно: \(\log_3(x + 5) > 0\).

Решим неравенство \(\log_3(x + 5) > 0\):

\(x + 5 > 3^0\) ⇒ \(x + 5 > 1\) ⇒ \(x > -4\).

Объединяя условия \(x > 3\) и \(x > -4\), получаем \(x > 3\).

Область допустимых значений:

Выражение \(\sqrt{\log_3(x + 5)}\) имеет смысл, если \(\log_3(x + 5) \geq 0\). Это дает условие:

\(x + 5 \geq 1\) ⇒ \(x \geq -4\).

Объединение решений:

Решения: \(x = -4\), \(x = 3\), и \(x > 3\). Объединяя, получаем:

Ответ: \(x \in \{-4\} \cup [3; +\infty)\).