ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \((2^x — 3)(3x — 4) \leq 0\)

б) \((3 \log_3 x — 1)(3x — 4) \geq 0\)

а) \((2^x — 3)(3x — 4) \leq 0\)

Первая система неравенств:

\(\begin{cases} 2^x — 3 \geq 0 \\ 3x — 4 \leq 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} 2^x \geq 3 \\ 3x \leq 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \geq \log_2 3 \\ x \leq 1\frac{1}{3} \end{cases} ⇒ x \in ø;\)

Вторая система неравенств:

\(\begin{cases} 2^x — 3 \leq 0 \\ 3x — 4 \geq 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \leq \log_2 3 \\ x \geq 1\frac{1}{3} \end{cases} ⇒ 1\frac{1}{3} \leq x \leq \log_2 3;\)

Ответ: \(x \in \left[1\frac{1}{3}; \log_2 3\right].\)

б) \((3 \log_3 x — 1)(3x — 4) \geq 0\)

Первая система неравенств:

\(\begin{cases} 3 \log_3 x — 1 \geq 0 \\ 3x — 4 \geq 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} \log_3 x \geq \frac{1}{3} \\ 3x \geq 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x \geq 3^{\frac{1}{3}} \\ x \geq 1\frac{1}{3} \end{cases} ⇒ x \geq \sqrt[3]{3};\)

Вторая система неравенств:

\(\begin{cases} 3 \log_3 x — 1 \leq 0 \\ 3x — 4 \leq 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} \log_3 x \leq \frac{1}{3} \\ 3x \leq 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases} 0 < x \leq 3^{\frac{1}{3}} \\ x \leq 1\frac{1}{3} \end{cases} ⇒ 0 < x \leq 1\frac{1}{3};\)

Ответ: \(x \in \left(0; 1\frac{1}{3}\right] \cup \left[\sqrt[3]{3}; +\infty\right).\)

а) \((2^x — 3)(3x — 4) \leq 0\)

Рассмотрим произведение двух множителей: \((2^x — 3)\) и \((3x — 4)\). Произведение будет неположительным, если один из множителей равен нулю или их знаки противоположны.

Первый случай: один из множителей равен нулю.

1. \(2^x — 3 = 0\):

\(2^x = 3\), откуда \(x = \log_2 3\).

2. \(3x — 4 = 0\):

\(3x = 4\), откуда \(x = \frac{4}{3}\).

Таким образом, точки \(x = \log_2 3\) и \(x = \frac{4}{3}\) являются корнями уравнения.

Второй случай: знаки множителей противоположны.

Для этого рассмотрим две системы неравенств.

Первая система:

\(\begin{cases} 2^x — 3 \geq 0 \\ 3x — 4 \leq 0 \end{cases}\).

Рассмотрим каждое из неравенств:

1. \(2^x — 3 \geq 0\):

\(2^x \geq 3\), откуда \(x \geq \log_2 3\).

2. \(3x — 4 \leq 0\):

\(3x \leq 4\), откуда \(x \leq \frac{4}{3}\).

Объединяя условия, получаем:

\(\begin{cases} x \geq \log_2 3 \\ x \leq \frac{4}{3} \end{cases} ⇒ x \in ø\), так как \(\log_2 3 > \frac{4}{3}\).

Вторая система:

\(\begin{cases} 2^x — 3 \leq 0 \\ 3x — 4 \geq 0 \end{cases}\).

Рассмотрим каждое из неравенств:

1. \(2^x — 3 \leq 0\):

\(2^x \leq 3\), откуда \(x \leq \log_2 3\).

2. \(3x — 4 \geq 0\):

\(3x \geq 4\), откуда \(x \geq \frac{4}{3}\).

Объединяя условия, получаем:

\(\begin{cases} x \leq \log_2 3 \\ x \geq \frac{4}{3} \end{cases} ⇒ \frac{4}{3} \leq x \leq \log_2 3\).

Ответ:

\(x \in \left[\frac{4}{3}; \log_2 3\right].\)

б) \((3 \log_3 x — 1)(3x — 4) \geq 0\)

Рассмотрим произведение двух множителей: \((3 \log_3 x — 1)\) и \((3x — 4)\). Произведение будет неотрицательным, если оба множителя одновременно неотрицательны или оба одновременно отрицательны.

Первый случай: оба множителя неотрицательны.

\(\begin{cases} 3 \log_3 x — 1 \geq 0 \\ 3x — 4 \geq 0 \end{cases}\).

Рассмотрим каждое из неравенств:

1. \(3 \log_3 x — 1 \geq 0\):

\(\log_3 x \geq \frac{1}{3}\), откуда \(x \geq 3^{\frac{1}{3}}\).

2. \(3x — 4 \geq 0\):

\(3x \geq 4\), откуда \(x \geq \frac{4}{3}\).

Объединяя условия, получаем:

\(\begin{cases} x \geq 3^{\frac{1}{3}} \\ x \geq \frac{4}{3} \end{cases} ⇒ x \geq \sqrt[3]{3},\) так как \(3^{\frac{1}{3}} < \frac{4}{3}\).

Второй случай: оба множителя отрицательны.

\(\begin{cases} 3 \log_3 x — 1 \leq 0 \\ 3x — 4 \leq 0 \end{cases}\).

Рассмотрим каждое из неравенств:

1. \(3 \log_3 x — 1 \leq 0\):

\(\log_3 x \leq \frac{1}{3}\), откуда \(x \leq 3^{\frac{1}{3}}\).

2. \(3x — 4 \leq 0\):

\(3x \leq 4\), откуда \(x \leq \frac{4}{3}\).

Объединяя условия, получаем:

\(\begin{cases} x \leq 3^{\frac{1}{3}} \\ x \leq \frac{4}{3} \end{cases} ⇒ 0 < x \leq \frac{4}{3},\) так как \(x > 0\) для логарифма.

Ответ:

\(x \in \left(0; \frac{4}{3}\right] \cup \left[\sqrt[3]{3}; +\infty\right).\)