ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Данное неравенство замените равносильным рациональным неравенством:

а) \(\lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4)\)

б) \(1.4^{7x — 9} \leq 1.4^{x^2 — 6}\)

в) \(\sqrt[5]{4x — 9} \geq \sqrt[5]{7x + 9}\)

г) \(\log_{0.2}(16x^2 + 8) < \log_{0.2}(x^2 + 1)\)

Заменить данное неравенство равносильным рациональным неравенством:

а) \(\lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4)\)
Условия для аргументов логарифмов:
\(\begin{cases}
x^2 + 9 > 0 \\
2x^2 + 4 > 0
\end{cases}
⇒
\begin{cases}
x^2 > -9 \\
x^2 > -2
\end{cases}
⇒ x \in \mathbb{R}\)
Основание логарифма больше единицы (10 > 1):
\(x^2 + 9 > 2x^2 + 4 ⇒ x^2 — 5 < 0\)

б) \(1.4^{7x — 9} \leq 1.4^{x^2 — 6}\)
Основание степени больше единицы (1.4 > 1):
\(7x — 9 \leq x^2 — 6 ⇒ x^2 — 7x + 3 \geq 0\)

в) \(\sqrt[5]{4x — 9} \geq \sqrt[5]{7x + 9}\)
Возведение обеих частей в пятую степень:
\(4x — 9 \geq 7x + 9 ⇒ 3x + 18 \leq 0\)

г) \(\log_{0.2}(16x^2 + 8) < \log_{0.2}(x^2 + 1)\)
Условия для аргументов логарифмов:
\(\begin{cases}
16x^2 + 8 > 0 \\
x^2 + 1 > 0
\end{cases}
⇒
\begin{cases}
x^2 > -0.5 \\
x^2 > -1
\end{cases}
⇒ x \in \mathbb{R}\)
Основание логарифма меньше единицы (0.2 < 1):
\(16x^2 + 8 > x^2 + 1 ⇒ 15x^2 + 7 > 0\)

а) Дано: \( \lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4) \)

Условие: аргументы логарифмов должны быть положительными. Для этого:

\( x^2 + 9 > 0 \quad \text{и} \quad 2x^2 + 4 > 0 \)

Поскольку \( x^2 \geq 0 \), оба условия выполняются для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Основание логарифма \( 10 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.

Переход к сравнению аргументов логарифмов:

\( x^2 + 9 > 2x^2 + 4 \)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( x^2 + 9 — 2x^2 — 4 > 0 \)

Приводим подобные:

\( -x^2 + 5 > 0 \)

Домножаем на \(-1\) (меняя знак неравенства):

\( x^2 — 5 < 0 \)

Таким образом, равносильное рациональное неравенство: \( x^2 — 5 < 0 \).

б) Дано: \( 1.4^{7x — 9} \leq 1.4^{x^2 — 6} \)

Основание степени \( 1.4 > 1 \), поэтому знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели степени:

\( 7x — 9 \leq x^2 — 6 \)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( x^2 — 7x + 3 \geq 0 \)

Таким образом, равносильное рациональное неравенство: \( x^2 — 7x + 3 \geq 0 \).

в) Дано: \( \sqrt[5]{4x — 9} \geq \sqrt[5]{7x + 9} \)

Основание корня нечётное (\( 5 \)), поэтому знак неравенства сохраняется.

Возводим обе части в пятую степень:

\( 4x — 9 \geq 7x + 9 \)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( 4x — 9 — 7x — 9 \geq 0 \)

Приводим подобные:

\( -3x — 18 \geq 0 \)

Домножаем на \(-1\) (меняя знак неравенства):

\( 3x + 18 \leq 0 \)

Таким образом, равносильное рациональное неравенство: \( 3x + 18 \leq 0 \).

г) Дано: \( \log_{0.2}(16x^2 + 8) < \log_{0.2}(x^2 + 1) \)

Условие: аргументы логарифмов должны быть положительными. Для этого:

\( 16x^2 + 8 > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 > 0 \)

Поскольку \( x^2 \geq 0 \), оба условия выполняются для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Основание логарифма \( 0.2 < 1 \), поэтому знак неравенства меняется.

Переход к сравнению аргументов логарифмов:

\( 16x^2 + 8 > x^2 + 1 \)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( 16x^2 + 8 — x^2 — 1 > 0 \)

Приводим подобные:

\( 15x^2 + 7 > 0 \)

Таким образом, равносильное рациональное неравенство: \( 15x^2 + 7 > 0 \).