Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( (x + 3) \cdot \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \);
б) \( (x — 5) \cdot \sqrt{x + 1} < 0; \)
в) \( \frac{e^{3x-1} — 1}{x + 8} > 0; \)
г) \( x\sqrt{x + 7} < 0 \)
Решить неравенство:
а) \( (x + 3) \cdot \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \);
Первая система неравенств:
\( \begin{cases} x + 3 > 0 \\ \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x > -3 \\ x > 1 \end{cases} ⇒ x > 1; \)
Вторая система неравенств:
\( \begin{cases} x + 3 < 0 \\ \log_{\frac{1}{7}} x > 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x < -3 \\ 0 < x < 1 \end{cases} ⇒ x ∈ ø; \)
Ответ: \( x ∈ (1; +∞) \).
б) \( (x — 5) \cdot \sqrt{x + 1} < 0; \)
\( \begin{cases} x — 5 < 0 \\ x + 1 ≠ 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x < 5 \\ x ≠ -1 \end{cases}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x + 1 ≥ 0; \)
\( x ≥ -1; \)
Ответ: \( x ∈ (-1; 5) \).
в) \( \frac{e^{3x-1} — 1}{x + 8} > 0; \)
Первая система неравенств:
\( \begin{cases} e^{3x-1} — 1 > 0 \\ x + 8 > 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} e^{3x-1} > 1 \\ x > -8 \end{cases}; \)
\( \begin{cases} 3x — 1 > 0 \\ x > -8 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -8 \end{cases} ⇒ x > \frac{1}{3}; \)
Вторая система неравенств:
\( \begin{cases} e^{3x-1} — 1 < 0 \\ x + 8 < 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x < -8 \end{cases} ⇒ x < -8; \)
Ответ: \( x ∈ (-∞; -8) ∪ \left(\frac{1}{3}; +∞\right) \).
г) \( x\sqrt{x + 7} < 0; \)
\( \begin{cases} x < 0 \\ x + 7 ≠ 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x < 0 \\ x ≠ -7 \end{cases}; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x + 7 ≥ 0; \)
\( x ≥ -7; \)
Ответ: \( x ∈ (-7; 0) \).
а) \( (x + 3) \cdot \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \);
Рассмотрим произведение двух множителей: \( (x + 3) \) и \( \log_{\frac{1}{7}} x \). Произведение будет отрицательным, если:
- Один из множителей положительный, а второй отрицательный;
- Или наоборот: один отрицательный, а второй положительный.
Рассмотрим первую систему неравенств:
\( \begin{cases} x + 3 > 0 \\ \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \end{cases} \)
Из первого неравенства: \( x + 3 > 0 \), следовательно, \( x > -3 \).
Из второго неравенства: \( \log_{\frac{1}{7}} x < 0 \). Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{7} \) меньше 1, логарифм отрицателен, если \( x > 1 \).
Объединяя условия, получаем:
\( \begin{cases} x > -3 \\ x > 1 \end{cases} ⇒ x > 1 \).
Рассмотрим вторую систему неравенств:
\( \begin{cases} x + 3 < 0 \\ \log_{\frac{1}{7}} x > 0 \end{cases} \)
Из первого неравенства: \( x + 3 < 0 \), следовательно, \( x < -3 \).
Из второго неравенства: \( \log_{\frac{1}{7}} x > 0 \). Логарифм положителен, если \( 0 < x < 1 \).
Объединяя условия, получаем:
\( \begin{cases} x < -3 \\ 0 < x < 1 \end{cases} ⇒ x ∈ ø \) (так как одновременно \( x < -3 \) и \( 0 < x < 1 \) невозможно).
Ответ: \( x ∈ (1; +∞) \).
б) \( (x — 5) \cdot \sqrt{x + 1} < 0 \);
Произведение двух множителей будет отрицательным, если:
- Один из множителей положительный, а второй отрицательный;
- Или наоборот: один отрицательный, а второй положительный.
Рассмотрим первую систему неравенств:
\( \begin{cases} x — 5 < 0 \\ x + 1 ≠ 0 \end{cases} \)
Из первого неравенства: \( x — 5 < 0 \), следовательно, \( x < 5 \).
Из второго неравенства: \( x + 1 ≠ 0 \), следовательно, \( x ≠ -1 \).
Объединяя условия, получаем:
\( \begin{cases} x < 5 \\ x ≠ -1 \end{cases} \).
Выражение имеет смысл при \( x + 1 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ -1 \).
Объединяя это условие с предыдущим, получаем:
Ответ: \( x ∈ (-1; 5) \).
в) \( \frac{e^{3x-1} — 1}{x + 8} > 0 \);
Рассмотрим первую систему неравенств:
\( \begin{cases} e^{3x-1} — 1 > 0 \\ x + 8 > 0 \end{cases} \)
Из первого неравенства: \( e^{3x-1} — 1 > 0 \), следовательно, \( e^{3x-1} > 1 \). Применяя свойства экспоненты, получаем:
\( 3x — 1 > 0 \), то есть \( x > \frac{1}{3} \).
Из второго неравенства: \( x + 8 > 0 \), следовательно, \( x > -8 \).
Объединяя условия, получаем:
\( \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -8 \end{cases} ⇒ x > \frac{1}{3} \).
Рассмотрим вторую систему неравенств:
\( \begin{cases} e^{3x-1} — 1 < 0 \\ x + 8 < 0 \end{cases} \)
Из первого неравенства: \( e^{3x-1} — 1 < 0 \), следовательно, \( e^{3x-1} < 1 \). Применяя свойства экспоненты, получаем:
\( 3x — 1 < 0 \), то есть \( x < \frac{1}{3} \).
Из второго неравенства: \( x + 8 < 0 \), следовательно, \( x < -8 \).
Объединяя условия, получаем:
\( \begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x < -8 \end{cases} ⇒ x < -8 \).
Ответ: \( x ∈ (-∞; -8) ∪ \left(\frac{1}{3}; +∞\right) \).
г) \( x\sqrt{x + 7} < 0 \);
Произведение двух множителей будет отрицательным, если:
- Один из множителей положительный, а второй отрицательный;
- Или наоборот: один отрицательный, а второй положительный.
Рассмотрим первую систему неравенств:
\( \begin{cases} x < 0 \\ x + 7 ≠ 0 \end{cases} \)
Из первого неравенства: \( x < 0 \).
Из второго неравенства: \( x + 7 ≠ 0 \), следовательно, \( x ≠ -7 \).
Объединяя условия, получаем:
\( \begin{cases} x < 0 \\ x ≠ -7 \end{cases} \).
Выражение имеет смысл при \( x + 7 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ -7 \).
Объединяя это условие с предыдущим, получаем:
Ответ: \( x ∈ (-7; 0) \).
