ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( (x^2 — 2x)(tg^2 x + 2^{x+1}) \leq 0 \);

б) \( (x^2 + 4x)(ctg^2 x + 3^{x-1}) \leq 0 \)

Решить неравенство:

а) \( (x^2 — 2x)(tg^2 x + 2^{x+1}) \leq 0 \);

Второй множитель положителен:

\( tg^2 x \geq 0, \; 2^{x+1} > 0 \);

\( tg^2 x + 2^{x+1} > 0 \);

Решения неравенства:

\( x^2 — 2x \leq 0 \);

\( x(x — 2) \leq 0 \);

\( 0 \leq x \leq 2 \);

Выражение имеет смысл при:

\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \);

Ответ: \( x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; 2\right] \).

б) \( (x^2 + 4x)(ctg^2 x + 3^{x-1}) \leq 0 \);

Второй множитель положителен:

\( ctg^2 x \geq 0, \; 3^{x-1} > 0 \);

\( ctg^2 x + 3^{x-1} > 0 \);

Решения неравенства:

\( x^2 + 4x \leq 0 \);

\( (x + 4)x \leq 0 \);

\( -4 \leq x \leq 0 \);

Выражение имеет смысл при:

\( x \neq \pi n \);

Ответ: \( x \in [-4; -\pi) \cup (-\pi; 0) \).

а) \( (x^2 — 2x)(tg^2 x + 2^{x+1}) \leq 0 \);

Рассмотрим произведение двух множителей: \( x^2 — 2x \) и \( tg^2 x + 2^{x+1} \). Для выполнения неравенства произведение должно быть меньше или равно нулю. Это возможно в двух случаях:

• Первый множитель \( x^2 — 2x \leq 0 \), а второй множитель \( tg^2 x + 2^{x+1} > 0 \);
• Первый множитель \( x^2 — 2x \geq 0 \), а второй множитель \( tg^2 x + 2^{x+1} \leq 0 \).

Рассмотрим второй множитель \( tg^2 x + 2^{x+1} \):

Поскольку \( tg^2 x \geq 0 \) и \( 2^{x+1} > 0 \) для всех значений \( x \), то:

\( tg^2 x + 2^{x+1} > 0 \).

Следовательно, второй множитель всегда положителен, и второй случай невозможен. Осталось рассмотреть первый случай:

\( x^2 — 2x \leq 0 \).

Решим неравенство \( x^2 — 2x \leq 0 \):

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x — 2) \leq 0 \).

Найдем корни уравнения \( x(x — 2) = 0 \):

\( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Рассмотрим знак выражения \( x(x — 2) \) на интервалах:

• При \( x \in (-\infty; 0) \), произведение \( x(x — 2) > 0 \);
• При \( x \in (0; 2) \), произведение \( x(x — 2) < 0 \);
• При \( x \in (2; +\infty) \), произведение \( x(x — 2) > 0 \).

Таким образом, решение неравенства \( x(x — 2) \leq 0 \):

\( x \in [0; 2] \).

Теперь учтем область допустимых значений для выражения \( tg^2 x \):

Функция \( tg x \) не определена при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, необходимо исключить точки \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) из найденного интервала.

Ответ: \( x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}; 2\right] \).

б) \( (x^2 + 4x)(ctg^2 x + 3^{x-1}) \leq 0 \);

Рассмотрим произведение двух множителей: \( x^2 + 4x \) и \( ctg^2 x + 3^{x-1} \). Для выполнения неравенства произведение должно быть меньше или равно нулю. Это возможно в двух случаях:

• Первый множитель \( x^2 + 4x \leq 0 \), а второй множитель \( ctg^2 x + 3^{x-1} > 0 \);
• Первый множитель \( x^2 + 4x \geq 0 \), а второй множитель \( ctg^2 x + 3^{x-1} \leq 0 \).

Рассмотрим второй множитель \( ctg^2 x + 3^{x-1} \):

Поскольку \( ctg^2 x \geq 0 \) и \( 3^{x-1} > 0 \) для всех значений \( x \), то:

\( ctg^2 x + 3^{x-1} > 0 \).

Следовательно, второй множитель всегда положителен, и второй случай невозможен. Осталось рассмотреть первый случай:

\( x^2 + 4x \leq 0 \).

Решим неравенство \( x^2 + 4x \leq 0 \):

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x + 4) \leq 0 \).

Найдем корни уравнения \( x(x + 4) = 0 \):

\( x = 0 \) и \( x = -4 \).

Рассмотрим знак выражения \( x(x + 4) \) на интервалах:

• При \( x \in (-\infty; -4) \), произведение \( x(x + 4) > 0 \);
• При \( x \in (-4; 0) \), произведение \( x(x + 4) < 0 \);
• При \( x \in (0; +\infty) \), произведение \( x(x + 4) > 0 \).

Таким образом, решение неравенства \( x(x + 4) \leq 0 \):

\( x \in [-4; 0] \).

Теперь учтем область допустимых значений для выражения \( ctg^2 x \):

Функция \( ctg x \) не определена при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Следовательно, необходимо исключить точки \( x = \pi n \) из найденного интервала.

Ответ: \( x \in [-4; -\pi) \cup (-\pi; 0) \).