Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \sqrt{\sin x — 1} \leq 4 — x^{2} \);
б) \( \sqrt{\cos x — 1} \geq x^{2} — 49 \)
Решить неравенство:
а) \( \sqrt{\sin x — 1} \leq 4 — x^{2} \);
Выражение имеет смысл при:
\( \sin x — 1 \geq 0 \);
\( \sin x \geq 1 \);
\( \sin x = 1 \);
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Значение левой части:
\( \sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) — 1} = \sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0 \);
Решения неравенства:
\( 4 — x^{2} \geq 0 \);
\( x^{2} — 4 \leq 0 \);
\( (x + 2)(x — 2) \leq 0 \);
\( -2 \leq x \leq 2 \);
Ответ: \( x \in \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \).
б) \( \sqrt{\cos x — 1} \geq x^{2} — 49 \);
Выражение имеет смысл при:
\( \cos x — 1 \geq 0 \);
\( \cos x \geq 1 \);
\( \cos x = 1 \);
\( x = 2\pi n \);
Значение левой части:
\( \sqrt{\cos(2\pi n) — 1} = \sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0 \);
Решения неравенства:
\( x^{2} — 49 \leq 0 \);
\( (x + 7)(x — 7) \leq 0 \);
\( -7 \leq x \leq 7 \);
Ответ: \( x \in \{-2\pi;\ 0;\ 2\pi\} \).
а) \( \sqrt{\sin x — 1} \leq 4 — x^{2} \);
Рассмотрим условия, при которых имеет смысл выражение \( \sqrt{\sin x — 1} \):
\( \sin x — 1 \geq 0 \);
\( \sin x \geq 1 \);
Функция \( \sin x \) достигает значения \( 1 \) при:
\( \sin x = 1 \);
\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Теперь вычислим значение левой части неравенства при этих значениях \( x \):
\( \sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) — 1} = \sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0 \).
Подставим это значение в неравенство:
\( 0 \leq 4 — x^{2} \).
Решим неравенство \( 4 — x^{2} \geq 0 \):
\( x^{2} \leq 4 \).
Перенесем \( 4 \) влево и разложим на множители:
\( x^{2} — 4 \leq 0 \).
\( (x + 2)(x — 2) \leq 0 \).
Определим знак выражения \( (x + 2)(x — 2) \) на интервалах:
- При \( x \in (-\infty; -2) \), произведение \( (x + 2)(x — 2) > 0 \);
- При \( x \in [-2; 2] \), произведение \( (x + 2)(x — 2) \leq 0 \);
- При \( x \in (2; +\infty) \), произведение \( (x + 2)(x — 2) > 0 \).
Таким образом, решение неравенства:
\( -2 \leq x \leq 2 \).
С учетом области допустимых значений \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), оставляем только те значения, которые принадлежат интервалу \( [-2; 2] \):
Ответ: \( x \in \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \).
б) \( \sqrt{\cos x — 1} \geq x^{2} — 49 \);
Рассмотрим условия, при которых имеет смысл выражение \( \sqrt{\cos x — 1} \):
\( \cos x — 1 \geq 0 \);
\( \cos x \geq 1 \);
Функция \( \cos x \) достигает значения \( 1 \) при:
\( \cos x = 1 \);
\( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Теперь вычислим значение левой части неравенства при этих значениях \( x \):
\( \sqrt{\cos(2\pi n) — 1} = \sqrt{1 — 1} = \sqrt{0} = 0 \).
Подставим это значение в неравенство:
\( 0 \geq x^{2} — 49 \).
Решим неравенство \( x^{2} — 49 \leq 0 \):
\( x^{2} \leq 49 \).
Перенесем \( 49 \) влево и разложим на множители:
\( x^{2} — 49 \leq 0 \).
\( (x + 7)(x — 7) \leq 0 \).
Определим знак выражения \( (x + 7)(x — 7) \) на интервалах:
- При \( x \in (-\infty; -7) \), произведение \( (x + 7)(x — 7) > 0 \);
- При \( x \in [-7; 7] \), произведение \( (x + 7)(x — 7) \leq 0 \);
- При \( x \in (7; +\infty) \), произведение \( (x + 7)(x — 7) > 0 \).
Таким образом, решение неравенства:
\( -7 \leq x \leq 7 \).
С учетом области допустимых значений \( x = 2\pi n \), оставляем только те значения, которые принадлежат интервалу \( [-7; 7] \):
Ответ: \( x \in \{-2\pi;\ 0;\ 2\pi\} \).
