Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( 6 \log_3 |x — 1| \leq 14 + 2x — x^2 \);
б) \( \log_2 (x^2 + x — 10) > 25 — 2x — 2x^2 \)
Решить неравенство:
а) \( 6 \log_3 |x — 1| \leq 14 + 2x — x^2 \);
\( 3 \cdot 2 \log_3 |x — 1| \leq 15 — (x^2 — 2x + 1) \);
\( 3 \log_3 (x — 1)^2 \leq 15 — (x — 1)^2 \);
Пусть \( y = (x — 1)^2 \), тогда:
\( 3 \log_3 y \leq 15 — y \);
Выражение имеет смысл при:
\( y > 0 \);
Разделим неравенство на две функции:
\( f = 3 \log_3 y \) — возрастает при \( y > 0 \);
\( g = 15 — y \) — убывает при \( y > 0 \);
Методом перебора найдем точку пересечения:
\( f(9) = 3 \log_3 9 = 3 \log_3 3^2 = 6 \);
\( g(9) = 15 — 9 = 6 \);
Множество решений:
\( 0 < y \leq 9 \);
Вернем замену:
\( 0 < (x — 1)^2 \leq 9 \);
\( \begin{cases} 0 < x — 1 \leq 3 \\ -3 \leq x — 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 < x \leq 4 \\ -2 \leq x < 1 \end{cases} \)
Ответ: \( x \in [-2; 1) \cup (1; 4] \).
б) \( \log_2 (x^2 + x — 10) > 25 — 2x — 2x^2 \);
Пусть \( y = x^2 + x — 10 \), тогда:
\( -2y = -2x^2 — 2x + 20 \);
\( -2x^2 — 2x = -2y — 20 \);
Подставим значение \( y \):
\( \log_2 y > 25 + (-2y — 20) \);
\( \log_2 y > 5 — 2y \);
Выражение имеет смысл при:
\( y > 0 \);
Разделим неравенство на две функции:
\( f = \log_2 y \) — возрастает при \( y > 0 \);
\( g = 5 — 2y \) — убывает при \( y > 0 \);
Методом перебора найдем точку пересечения:
\( f(2) = \log_2 2 = 1 \);
\( g(2) = 5 — 2 \cdot 2 = 5 — 4 = 1 \);
Множество решений:
\( y > 2 \);
Вернем замену:
\( x^2 + x — 10 > 2 \);
\( x^2 + x — 12 > 0 \);
\( D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \);
\( (x + 4)(x — 3) > 0 \);
\( x < -4 \) или \( x > 3 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty) \).
а) \( 6 \log_3 |x — 1| \leq 14 + 2x — x^2 \).
Перепишем неравенство:
\( 3 \cdot 2 \log_3 |x — 1| \leq 15 — (x^2 — 2x + 1) \).
Вынесем коэффициент \( 3 \) из логарифма:
\( 3 \log_3 (x — 1)^2 \leq 15 — (x — 1)^2 \).
Пусть \( y = (x — 1)^2 \). Тогда неравенство примет вид:
\( 3 \log_3 y \leq 15 — y \).
Выражение имеет смысл при \( y > 0 \), так как логарифм определен только для положительных значений.
Разделим неравенство на две функции:
- \( f(y) = 3 \log_3 y \) — возрастает при \( y > 0 \);
- \( g(y) = 15 — y \) — убывает при \( y > 0 \).
Для нахождения области решений найдем точку пересечения функций:
Подставим \( y = 9 \):
\( f(9) = 3 \log_3 9 = 3 \log_3 3^2 = 3 \cdot 2 = 6 \);
\( g(9) = 15 — 9 = 6 \).
Таким образом, точка пересечения найдена: \( y = 9 \).
Рассмотрим область решений:
\( f(y) \leq g(y) \) при \( 0 < y \leq 9 \).
Вернем замену \( y = (x — 1)^2 \):
\( 0 < (x — 1)^2 \leq 9 \).
Рассмотрим два случая:
- \( 0 < x — 1 \leq 3 \), тогда \( 1 < x \leq 4 \);
- \( -3 \leq x — 1 < 0 \), тогда \( -2 \leq x < 1 \).
Объединяя оба случая, получаем:
\( x \in [-2; 1) \cup (1; 4] \).
Ответ: \( x \in [-2; 1) \cup (1; 4] \).
б) \( \log_2 (x^2 + x — 10) > 25 — 2x — 2x^2 \).
Пусть \( y = x^2 + x — 10 \). Тогда:
\( -2y = -2x^2 — 2x + 20 \);
\( -2x^2 — 2x = -2y — 20 \).
Подставим значение \( y \) в исходное неравенство:
\( \log_2 y > 25 + (-2y — 20) \);
\( \log_2 y > 5 — 2y \).
Выражение имеет смысл при \( y > 0 \), так как логарифм определен только для положительных значений.
Разделим неравенство на две функции:
- \( f(y) = \log_2 y \) — возрастает при \( y > 0 \);
- \( g(y) = 5 — 2y \) — убывает при \( y > 0 \).
Для нахождения области решений найдем точку пересечения функций:
Подставим \( y = 2 \):
\( f(2) = \log_2 2 = 1 \);
\( g(2) = 5 — 2 \cdot 2 = 5 — 4 = 1 \).
Таким образом, точка пересечения найдена: \( y = 2 \).
Рассмотрим область решений:
\( f(y) > g(y) \) при \( y > 2 \).
Вернем замену \( y = x^2 + x — 10 \):
\( x^2 + x — 10 > 2 \).
\( x^2 + x — 12 > 0 \).
Решим квадратное неравенство:
Найдем дискриминант:
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \).
Найдем корни квадратного уравнения:
\( x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \);
\( x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \).
Разложим квадратный трехчлен на множители:
\( (x + 4)(x — 3) > 0 \).
Рассмотрим знак выражения на интервалах:
- При \( x \in (-\infty; -4) \), выражение положительно;
- При \( x \in [-4; 3] \), выражение отрицательно;
- При \( x \in (3; +\infty) \), выражение положительно.
Таким образом, решение неравенства:
\( x < -4 \) или \( x > 3 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty) \).
