Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а)
\[
\begin{cases}
(x + 1)^2 — (x — 1)^2 \geq 12 \\
(x + 4)(x — 4) — (x + 2)^2 < 9
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
(x — 2)(x^2 + 2x + 4) — x^3 < 8x \\
3x — 16 \leq x
\end{cases}
\]
Решить систему неравенств:
а)
\[
\begin{cases}
(x + 1)^2 — (x — 1)^2 \geq 12 \\
(x + 4)(x — 4) — (x + 2)^2 < 9
\end{cases}
\]
Первое неравенство:
\( (x + 1)^2 — (x — 1)^2 \geq 12 \);
\( (x^2 + 2x + 1) — (x^2 — 2x + 1) \geq 12 \);
\( 4x \geq 12 \);
\( x \geq 3 \);
Второе неравенство:
\( (x + 4)(x — 4) — (x + 2)^2 < 9 \);
\( (x^2 — 16) — (x^2 + 4x + 4) < 9 \);
\( -4x — 20 < 9 \);
\( 4x > -29 \);
\( x > -7,25 \);
Ответ: \( x \in [3; +\infty) \).
б)
\[
\begin{cases}
(x — 2)(x^2 + 2x + 4) — x^3 < 8x \\
3x — 16 \leq x
\end{cases}
\]
Первое неравенство:
\( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) — x^3 < 8x \);
\( (x^3 — 8) — x^3 < 8x \);
\( -8 < 8x \);
\( x > -1 \);
Второе неравенство:
\( 3x — 16 \leq x \);
\( 2x \leq 16 \);
\( x \leq 8 \);
Ответ: \( x \in (-1; 8] \).
а)
\[
\begin{cases}
(x + 1)^2 — (x — 1)^2 \geq 12 \\
(x + 4)(x — 4) — (x + 2)^2 < 9
\end{cases}
\]
Решение первого неравенства:
Дано: \( (x + 1)^2 — (x — 1)^2 \geq 12 \).
Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:
\( (x^2 + 2x + 1) — (x^2 — 2x + 1) \geq 12 \).
Убираем скобки, обращая внимание на знаки:
\( x^2 + 2x + 1 — x^2 + 2x — 1 \geq 12 \).
Приводим подобные члены:
\( 4x \geq 12 \).
Делим обе части на \( 4 \):
\( x \geq \frac{12}{4} \).
Выполняем деление:
\( x \geq 3 \).
Решение второго неравенства:
Дано: \( (x + 4)(x — 4) — (x + 2)^2 < 9 \).
Раскрываем скобки, используя формулу разности квадратов для первого множителя:
\( (x^2 — 16) — (x^2 + 4x + 4) < 9 \).
Убираем скобки, обращая внимание на знаки:
\( x^2 — 16 — x^2 — 4x — 4 < 9 \).
Приводим подобные члены:
\( -4x — 20 < 9 \).
Переносим \( -20 \) в правую часть, изменяя знак:
\( -4x < 9 + 20 \).
Складываем числа:
\( -4x < 29 \).
Делим обе части на \( -4 \), не забывая изменить знак неравенства:
\( x > \frac{-29}{4} \).
Выполняем деление:
\( x > -7,25 \).
Общий вывод:
Для решения системы неравенств необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно:
\( x \geq 3 \) и \( x > -7,25 \).
Так как \( x \geq 3 \) является более строгим условием, итоговый ответ:
Ответ: \( x \in [3; +\infty) \).
б)
\[
\begin{cases}
(x — 2)(x^2 + 2x + 4) — x^3 < 8x \\
3x — 16 \leq x
\end{cases}
\]
Решение первого неравенства:
Дано: \( (x — 2)(x^2 + 2x + 4) — x^3 < 8x \).
Раскрываем скобки, выполняя умножение:
\( x(x^2 + 2x + 4) — 2(x^2 + 2x + 4) — x^3 < 8x \).
\( x^3 + 2x^2 + 4x — 2x^2 — 4x — 8 — x^3 < 8x \).
Приводим подобные члены:
\( x^3 — x^3 + 2x^2 — 2x^2 + 4x — 4x — 8 < 8x \).
\( -8 < 8x \).
Делим обе части на \( 8 \):
\( x > \frac{-8}{8} \).
Выполняем деление:
\( x > -1 \).
Решение второго неравенства:
Дано: \( 3x — 16 \leq x \).
Переносим \( x \) из правой части в левую, изменяя знак:
\( 3x — x \leq 16 \).
Приводим подобные члены:
\( 2x \leq 16 \).
Делим обе части на \( 2 \):
\( x \leq \frac{16}{2} \).
Выполняем деление:
\( x \leq 8 \).
Общий вывод:
Для решения системы неравенств необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно:
\( x > -1 \) и \( x \leq 8 \).
Итоговый ответ:
Ответ: \( x \in (-1; 8] \).
