Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а)
\[
\begin{cases}
x^3 < x \\ 3x^2 — x > 5 — 15x
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 5}{x — 7} < 1 \\ \frac{3x + 4}{4x — 2} > -1
\end{cases}
\]
Решить систему неравенств:
а)
\[
\begin{cases}
x^3 < x \\ 3x^2 — x > 5 — 15x
\end{cases}
\]
Первое неравенство:
\( x^3 < x; \)
\( x^3 — x < 0; \)
\( x(x^2 — 1) < 0; \)
\( (x + 1)x(x — 1) < 0; \)
\( x < -1 \quad \text{или} \quad 0 < x < 1; \)
Второе неравенство:
\( 3x^2 — x > 5 — 15x; \)
\( 3x^2 + 14x — 5 > 0; \)
\( D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 196 + 60 = 256, \text{ тогда:} \)
\( x_1 = \frac{-14 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5; \)
\( x_2 = \frac{-14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \)
\( (x + 5)\left(x — \frac{1}{3}\right) > 0; \)
\( x < -5 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{3}; \)
Ответ:
\( x \in (-\infty; -5) \cup \left(\frac{1}{3}; 1\right). \)
б)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 5}{x — 7} < 1 \\ \frac{3x + 4}{4x — 2} > -1
\end{cases}
\]
Первое неравенство:
\( \frac{x + 5}{x — 7} < 1; \)
\( \frac{(x + 5) — (x — 7)}{x — 7} < 0; \)
\( \frac{12}{x — 7} < 0; \)
\( x < 7; \)
Второе неравенство:
\( \frac{3x + 4}{4x — 2} > -1; \)
\( \frac{(3x + 4) + (4x — 2)}{4x — 2} > 0; \)
\( \frac{7x + 2}{2(2x — 1)} > 0; \)
\( x < -\frac{2}{7} \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2}; \)
Ответ:
\( x \in \left(-\infty; -\frac{2}{7}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; 7\right). \)
Решить систему неравенств:
а)
\[
\begin{cases}
x^3 < x \\ 3x^2 — x > 5 — 15x
\end{cases}
\]
Решение первого неравенства:
Начнем с первого неравенства:
\( x^3 < x; \)
Переносим \( x \) в левую часть:
\( x^3 — x < 0; \)
Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(x^2 — 1) < 0; \)
Разложим \( x^2 — 1 \) как разность квадратов:
\( x(x — 1)(x + 1) < 0; \)
Получили произведение трех множителей. Для решения этого неравенства определим знаки каждого множителя на числовой прямой:
— Корни уравнения: \( x = -1, x = 0, x = 1; \)
— Разобьем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; +\infty); \)
Проверим знаки произведения на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty; -1): \) все множители отрицательны, произведение отрицательно.
- На интервале \( (-1; 0): \) два множителя отрицательны, один положителен, произведение положительно.
- На интервале \( (0; 1): \) один множитель отрицателен, два положительны, произведение отрицательно.
- На интервале \( (1; +\infty): \) все множители положительны, произведение положительно.
Ищем те интервалы, где произведение меньше нуля:
\( x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1); \)
Решение второго неравенства:
Рассмотрим второе неравенство:
\( 3x^2 — x > 5 — 15x; \)
Переносим все в левую часть:
\( 3x^2 — x — 5 + 15x > 0; \)
Приведем подобные члены:
\( 3x^2 + 14x — 5 > 0; \)
Рассчитаем дискриминант для квадратного уравнения:
\( D = 14^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5); \)
\( D = 196 + 60 = 256; \)
Найдем корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-14 — \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 — 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5; \)
\( x_2 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}; \)
Разложим квадратный трехчлен на множители:
\( 3x^2 + 14x — 5 = 3(x + 5)\left(x — \frac{1}{3}\right); \)
Рассмотрим знак выражения на числовой прямой, используя корни \( x = -5 \) и \( x = \frac{1}{3}; \)
— Интервалы: \( (-\infty; -5), (-5; \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}; +\infty); \)
Проверим знаки выражения на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty; -5): \) оба множителя отрицательны, произведение положительно.
- На интервале \( (-5; \frac{1}{3}): \) один множитель отрицателен, другой положителен, произведение отрицательно.
- На интервале \( (\frac{1}{3}; +\infty): \) оба множителя положительны, произведение положительно.
Ищем те интервалы, где произведение положительно:
\( x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; +\infty); \)
Общий ответ для системы:
Пересекаем решения двух неравенств:
\( x \in (-\infty; -5) \cup (\frac{1}{3}; 1); \)
б)
\[
\begin{cases}
\frac{x + 5}{x — 7} < 1 \\ \frac{3x + 4}{4x — 2} > -1
\end{cases}
\]
Решение первого неравенства:
Начнем с первого неравенства:
\( \frac{x + 5}{x — 7} < 1; \)
Приведем к общему знаменателю:
\( \frac{x + 5 — (x — 7)}{x — 7} < 0; \)
Упростим числитель:
\( \frac{12}{x — 7} < 0; \)
Исследуем знак дроби:
— Знаменатель меняет знак при \( x = 7; \)
— Числитель положителен всегда.
Ищем те значения \( x \), при которых дробь отрицательна:
\( x < 7; \)
Решение второго неравенства:
Рассмотрим второе неравенство:
\( \frac{3x + 4}{4x — 2} > -1; \)
Приведем к общему знаменателю:
\( \frac{3x + 4 + (4x — 2)}{4x — 2} > 0; \)
Упростим числитель:
\( \frac{7x + 2}{4x — 2} > 0; \)
Разложим знаменатель:
\( \frac{7x + 2}{2(2x — 1)} > 0; \)
Исследуем знаки числителя и знаменателя:
— Числитель меняет знак при \( x = -\frac{2}{7}; \)
— Знаменатель меняет знак при \( x = \frac{1}{2}; \)
Ищем те значения \( x \), при которых дробь положительна:
\( x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; \infty); \)
Общий ответ для системы:
Пересекаем решения двух неравенств:
\( x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}; 7); \)
