Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x}{x+2} — \frac{24}{(x+2)^{2}} < 0; \\
-3x < 9
\end{array}
\right.
\]
б)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x^{2} — 1,5x — 7}{(x-4)^{2}} > 0; \\
x^{2} < 25
\end{array}
\right.
\]
Решить систему неравенств:
а)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x}{x+2} — \frac{24}{(x+2)^{2}} < 0; \\
-3x < 9
\end{array}
\right.
\]
Первое неравенство:
\( \frac{x}{x+2} — \frac{24}{(x+2)^{2}} < 0; \)
\( \frac{x(x+2) — 24}{(x+2)^{2}} < 0; \)
\( x^{2} + 2x — 24 < 0; \)
\( D = 2^{2} + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \text{ тогда:} \)
\( x_{1} = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_{2} = \frac{-2 + 10}{2} = 4; \)
\( (x + 6)(x — 4) < 0; \)
\( -6 < x < 4; \)
Второе неравенство:
\( -3x < 9; \)
\( x > -3; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x + 2 \neq 0; \)
\( x \neq -2; \)
Ответ: \( x \in (-3; -2) \cup (-2; 4); \)
б)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x^{2} — 1,5x — 7}{(x-4)^{2}} > 0; \\
x^{2} < 25
\end{array}
\right.
\]
Первое неравенство:
\( \frac{x^{2} — 1,5x — 7}{(x-4)^{2}} > 0; \)
\( 2x^{2} — 3x — 14 > 0; \)
\( D = 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 14 = 9 + 112 = 121, \text{ тогда:} \)
\( x_{1} = \frac{3 — 11}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2; \)
\( x_{2} = \frac{3 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3,5; \)
\( (x + 2)(x — 3,5) > 0; \)
\( x < -2 \quad \text{или} \quad x > 3,5; \)
Второе неравенство:
\( x^{2} < 25; \)
\( x^{2} — 25 < 0; \)
\( (x + 5)(x — 5) < 0; \)
\( -5 < x < 5; \)
Выражение имеет смысл при:
\( x — 4 \neq 0; \)
\( x \neq 4; \)
Ответ: \( x \in (-5; -2) \cup (3,5; 4) \cup (4; 5); \)
а)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x}{x+2} — \frac{24}{(x+2)^{2}} < 0; \\
-3x < 9
\end{array}
\right.
\]
Решение первого неравенства:
Рассмотрим первое неравенство:
\( \frac{x}{x+2} — \frac{24}{(x+2)^{2}} < 0 \)
Приведем выражение к общему знаменателю:
\( \frac{x(x+2) — 24}{(x+2)^{2}} < 0 \)
В числителе выполним раскрытие скобок:
\( x(x+2) = x^{2} + 2x \)
Тогда числитель примет вид:
\( x^{2} + 2x — 24 \)
Запишем неравенство в виде:
\( \frac{x^{2} + 2x — 24}{(x+2)^{2}} < 0 \)
Числитель представляет собой квадратное уравнение:
\( x^{2} + 2x — 24 = 0 \)
Рассчитаем дискриминант:
\( D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-24) \)
\( D = 4 + 96 = 100 \)
Найдем корни квадратного уравнения:
\( x_{1} = \frac{-2 — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 10}{2} = -6 \)
\( x_{2} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = 4 \)
Разложим числитель на множители:
\( x^{2} + 2x — 24 = (x + 6)(x — 4) \)
Тогда неравенство примет вид:
\( \frac{(x + 6)(x — 4)}{(x+2)^{2}} < 0 \)
Исследуем знак выражения:
— Знаменатель \( (x+2)^{2} > 0 \) при \( x \neq -2 \), так как квадрат любого числа положителен.
— Числитель меняет знак на числовой прямой в точках \( x = -6 \) и \( x = 4 \).
Разбиваем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -6) \), \( (-6; -2) \), \( (-2; 4) \), \( (4; +\infty) \).
Определяем знак выражения на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty; -6) \): оба множителя отрицательны, дробь положительна.
- На интервале \( (-6; -2) \): один множитель отрицателен, другой положителен, дробь отрицательна.
- На интервале \( (-2; 4) \): оба множителя положительны, дробь положительна.
- На интервале \( (4; +\infty) \): один множитель отрицателен, другой положителен, дробь отрицательна.
Ищем те интервалы, где дробь отрицательна:
\( x \in (-6; -2) \cup (4; +\infty) \)
Решение второго неравенства:
Рассмотрим второе неравенство:
\( -3x < 9 \)
Разделим обе части на \(-3\), изменив знак неравенства:
\( x > -3 \)
Область определения:
Выражение имеет смысл при \( x+2 \neq 0 \), то есть \( x \neq -2 \).
Ответ:
Пересекаем решения двух неравенств, учитывая область определения:
\( x \in (-3; -2) \cup (-2; 4) \)
б)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{x^{2} — 1,5x — 7}{(x-4)^{2}} > 0; \\
x^{2} < 25
\end{array}
\right.
\]
Решение первого неравенства:
Рассмотрим первое неравенство:
\( \frac{x^{2} — 1,5x — 7}{(x-4)^{2}} > 0 \)
Знаменатель \( (x-4)^{2} > 0 \) при \( x \neq 4 \).
Рассмотрим числитель:
\( x^{2} — 1,5x — 7 > 0 \)
Умножим на 2 для удобства вычислений:
\( 2x^{2} — 3x — 14 > 0 \)
Рассчитаем дискриминант:
\( D = (-3)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (-14) \)
\( D = 9 + 112 = 121 \)
Найдем корни квадратного уравнения:
\( x_{1} = \frac{-(-3) — \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 11}{4} = -2 \)
\( x_{2} = \frac{-(-3) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 11}{4} = 3,5 \)
Разложим числитель на множители:
\( 2x^{2} — 3x — 14 = 2(x + 2)(x — 3,5) \)
Тогда неравенство примет вид:
\( \frac{2(x + 2)(x — 3,5)}{(x-4)^{2}} > 0 \)
Исследуем знак выражения:
— Числитель меняет знак в точках \( x = -2 \) и \( x = 3,5 \).
— Знаменатель положителен при \( x \neq 4 \).
Разбиваем числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 3,5) \), \( (3,5; 4) \), \( (4; +\infty) \).
Определяем знак выражения на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty; -2) \): дробь положительна.
- На интервале \( (-2; 3,5) \): дробь отрицательна.
- На интервале \( (3,5; 4) \): дробь положительна.
- На интервале \( (4; +\infty) \): дробь отрицательна.
Ищем те интервалы, где дробь положительна:
\( x \in (-\infty; -2) \cup (3,5; 4) \)
Решение второго неравенства:
Рассмотрим второе неравенство:
\( x^{2} < 25 \)
Разложим на множители:
\( (x + 5)(x — 5) < 0 \)
Решение:
\( -5 < x < 5 \)
Область определения:
Выражение имеет смысл при \( x \neq 4 \).
Ответ:
Пересекаем решения двух неравенств, учитывая область определения:
\( x \in (-5; -2) \cup (3,5; 4) \cup (4; 5) \)
