Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 57.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \((x + 3)^3 \geq 27\) и \(4x — 1 < 12x\)
б) \((x + 3)(x^2 — 3x + 9) < 54\) и \(x^2 — 9 > 0\)
Решить совокупность неравенств:
а) Даны неравенства:
\((x + 3)^3 \geq 27\) и \(4x — 1 < 12x.\)
Решение первого неравенства:
\((x + 3)^3 \geq 27;\)
\(x + 3 \geq 3;\)
\(x \geq 0.\)
Решение второго неравенства:
\(4x — 1 < 12x;\)
\(8x > -1;\)
\(x > -\frac{1}{8}.\)
Ответ: \(x \in \left( -\frac{1}{8}; +\infty \right).\)
б) Даны неравенства:
\((x + 3)(x^2 — 3x + 9) < 54\) и \(x^2 — 9 > 0.\)
Решение первого неравенства:
\((x + 3)(x^2 — 3x + 9) < 54;\)
\(x^3 + 27 < 54;\)
\(x^3 < 27;\)
\(x < 3.\)
Решение второго неравенства:
\(x^2 — 9 > 0;\)
\((x + 3)(x — 3) > 0;\)
\(x < -3 \text{ или } x > 3.\)
Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty).\)
а) Даны неравенства:
\((x + 3)^3 \geq 27\)
и
\(4x — 1 < 12x.\)
Решение первого неравенства:
Неравенство имеет вид:
\((x + 3)^3 \geq 27.\)
Для упрощения выражения извлекаем кубический корень из обеих частей:
\(x + 3 \geq \sqrt[3]{27}.\)
Так как \(\sqrt[3]{27} = 3\), то:
\(x + 3 \geq 3.\)
Вычитаем \(3\) из обеих частей неравенства:
\(x \geq 0.\)
Первое неравенство решено.
Решение второго неравенства:
Неравенство имеет вид:
\(4x — 1 < 12x.\)
Переносим все члены, содержащие \(x\), в одну часть, а свободные члены — в другую:
\(4x — 12x < 1.\)
Считаем коэффициенты при \(x\):
\(-8x < 1.\)
Делим обе части неравенства на \(-8\), при этом знак неравенства меняется на противоположный:
\(x > -\frac{1}{8}.\)
Второе неравенство решено.
Совокупность решений:
Объединяем решения двух неравенств:
\(x \geq 0\) и \(x > -\frac{1}{8}.\)
Так как \(x \geq 0\) уже включает \(x > -\frac{1}{8}\), окончательное решение:
\(x \in \left( -\frac{1}{8}; +\infty \right).\)
б) Даны неравенства:
\((x + 3)(x^2 — 3x + 9) < 54\)
и
\(x^2 — 9 > 0.\)
Решение первого неравенства:
Неравенство имеет вид:
\((x + 3)(x^2 — 3x + 9) < 54.\)
Раскрываем скобки, чтобы упростить выражение:
\(x \cdot x^2 — 3x \cdot x + 9x + 3 \cdot x^2 — 3 \cdot 3x + 3 \cdot 9 < 54.\)
Считаем каждый член:
\(x^3 — 3x^2 + 9x + 3x^2 — 9x + 27 < 54.\)
Собираем подобные члены:
\(x^3 + 27 < 54.\)
Переносим \(27\) в правую часть:
\(x^3 < 27.\)
Извлекаем кубический корень из обеих частей:
\(x < \sqrt[3]{27}.\)
Так как \(\sqrt[3]{27} = 3\), то:
\(x < 3.\)
Первое неравенство решено.
Решение второго неравенства:
Неравенство имеет вид:
\(x^2 — 9 > 0.\)
Раскладываем левую часть на множители:
\((x + 3)(x — 3) > 0.\)
Рассмотрим знак произведения \((x + 3)(x — 3)\):
Произведение положительно, если оба множителя положительны или оба отрицательны.
1. \(x + 3 > 0\) и \(x — 3 > 0,\) тогда:
\(x > 3.\)
2. \(x + 3 < 0\) и \(x — 3 < 0,\) тогда:
\(x < -3.\)
Объединяем оба случая:
\(x < -3 \text{ или } x > 3.\)
Второе неравенство решено.
Совокупность решений:
Объединяем решения двух неравенств:
\(x < 3\) и \(x < -3 \text{ или } x > 3.\)
Пересечение множеств решений даёт:
\(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty).\)
Ответ:
а) \(x \in \left( -\frac{1}{8}; +\infty \right).\)
б) \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty).\)
