Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 58.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(7x + 2y = 1;\)
б) \(7x — 12y = 1\)
Решить уравнение в целых числах:
а) \(7x + 2y = 1;\)
\(2x + 2y + 5x = 5 — 4;\)
\(2x + 2y + 4 = 5 — 5x;\)
\(2(x + y + 2) = 5(1 — x);\)
Число \(1 — x\) кратно двум:
\(1 — x = 2k;\)
\(x = 1 — 2k;\)
Значение числа \(y\):
\(2y = 1 — 7x;\)
\(y = \frac{1 — 7x}{2} = \frac{1 — 7(1 — 2k)}{2} = \frac{14k — 6}{2} = 7k — 3;\)
Ответ: \((1 — 2k; 7k — 3).\)
б) \(7x — 12y = 1;\)
\(7x — 7y — 5y = 15 — 14;\)
\(7x — 7y + 14 = 15 + 5y;\)
\(7(x — y + 2) = 5(3 + y);\)
Число \(3 + y\) кратно семи:
\(3 + y = 7k;\)
\(y = 7k — 3;\)
Значение числа \(x\):
\(7x = 1 + 12y;\)
\(x = \frac{1 + 12y}{7} = \frac{1 + 12(7k — 3)}{7} = \frac{84k — 35}{7} = 12k — 5;\)
Ответ: \((12k — 5; 7k — 3).\)
а) Рассмотрим уравнение \(7x + 2y = 1.\)
Преобразуем его, чтобы выделить общий множитель:
\(2x + 2y + 5x = 5 — 4.\)
Упростим выражение:
\(2x + 2y + 4 = 5 — 5x.\)
Вынесем общий множитель \(2\) слева:
\(2(x + y + 2) = 5(1 — x).\)
Заметим, что выражение \(1 — x\) должно быть кратно \(2,\) так как левая часть делится на \(2.\)
Обозначим \(1 — x = 2k,\) где \(k\) — целое число.
Найдём \(x:\)
\(x = 1 — 2k.\)
Теперь найдём значение \(y.\) Подставим \(x = 1 — 2k\) в исходное уравнение \(7x + 2y = 1:\)
\(2y = 1 — 7x.\)
Выразим \(y:\)
\(y = \frac{1 — 7x}{2}.\)
Подставим \(x = 1 — 2k:\)
\(y = \frac{1 — 7(1 — 2k)}{2}.\)
Упростим выражение:
\(y = \frac{1 — 7 + 14k}{2} = \frac{-6 + 14k}{2}.\)
\(y = 7k — 3.\)
Таким образом, любое решение уравнения имеет вид:
\((x; y) = (1 — 2k; 7k — 3),\) где \(k \in \mathbb{Z}.\)
Ответ: \((1 — 2k; 7k — 3).\)
б) Рассмотрим уравнение \(7x — 12y = 1.\)
Преобразуем его, чтобы выделить общий множитель:
\(7x — 7y — 5y = 15 — 14.\)
Упростим выражение:
\(7x — 7y + 14 = 15 + 5y.\)
Вынесем общий множитель \(7\) слева:
\(7(x — y + 2) = 5(3 + y).\)
Заметим, что выражение \(3 + y\) должно быть кратно \(7,\) так как левая часть делится на \(7.\)
Обозначим \(3 + y = 7k,\) где \(k\) — целое число.
Найдём \(y:\)
\(y = 7k — 3.\)
Теперь найдём значение \(x.\) Подставим \(y = 7k — 3\) в исходное уравнение \(7x — 12y = 1:\)
\(7x = 1 + 12y.\)
Выразим \(x:\)
\(x = \frac{1 + 12y}{7}.\)
Подставим \(y = 7k — 3:\)
\(x = \frac{1 + 12(7k — 3)}{7}.\)
Упростим выражение:
\(x = \frac{1 + 84k — 36}{7} = \frac{-35 + 84k}{7}.\)
\(x = 12k — 5.\)
Таким образом, любое решение уравнения имеет вид:
\((x; y) = (12k — 5; 7k — 3),\) где \(k \in \mathbb{Z}.\)
Ответ: \((12k — 5; 7k — 3).\)
