Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 58.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(x^2 — 5xy + 6y^2 = 2\);
б) \(x^2 + 2xy — 8y^2 = 7\)
Решить уравнение в целых числах:
а) \(x^2 — 5xy + 6y^2 = 2\);
\(x^2 — 3xy — 2xy + 6y^2 = 2\);
\(x(x — 3y) — 2y(x — 3y) = 2\);
\((x — 2y)(x — 3y) = 2\);
Первая система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = 2 \\ x — 3y = 1 \end{cases}\);
\(x — x — 2y + 3y = 2 — 1\);
\(y = 1\);
\(x = 1 + 3y = 1 + 3 = 4\);
Вторая система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = 1 \\ x — 3y = 2 \end{cases}\);
\(x — x — 2y + 3y = 1 — 2\);
\(y = -1\);
\(x = 2 + 3y = 2 — 3 = -1\);
Третья система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = -1 \\ x — 3y = -2 \end{cases}\);
\(x + x — 2y + 3y = -1 + 2\);
\(y = 1\);
\(x = -2 + 3y = -2 + 3 = 1\);
Четвертая система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = -2 \\ x — 3y = -1 \end{cases}\);
\(x + x — 2y + 3y = -2 + 1\);
\(y = -1\);
\(x = -1 + 3y = -1 — 3 = -4\);
Ответ: \((4; 1)\); \((-1; -1)\); \((1; 1)\); \((-4; -1)\).
б) \(x^2 + 2xy — 8y^2 = 7\);
\(x^2 — 2xy + 4xy — 8y^2 = 7\);
\(x(x — 2y) + 4y(x — 2y) = 7\);
\((x + 4y)(x — 2y) = 7\);
Первая система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = 7 \\ x — 2y = 1 \end{cases}\);
\(x — x + 4y + 2y = 7 — 1\);
\(6y = 6\);
\(y = 1\);
\(x = 1 + 2y = 1 + 2 = 3\);
Вторая система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x — 2y = 7 \end{cases}\);
\(x — x + 4y + 2y = 1 — 7\);
\(6y = -6\);
\(y = -1\);
\(x = 7 + 2y = 7 — 2 = 5\);
Третья система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = -7 \\ x — 2y = -1 \end{cases}\);
\(x — x + 4y + 2y = -7 + 1\);
\(6y = -6\);
\(y = -1\);
\(x = -1 + 2y = -1 — 2 = -3\);
Четвертая система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = -1 \\ x — 2y = -7 \end{cases}\);
\(x — x + 4y + 2y = -1 + 7\);
\(6y = 6\);
\(y = 1\);
\(x = -7 + 2y = -7 + 2 = -5\);
Ответ: \((3; 1)\); \((5; -1)\); \((-3; -1)\); \((-5; 1)\).
а) \(x^2 — 5xy + 6y^2 = 2\);
Разложим выражение в левой части уравнения на множители:
\(x^2 — 3xy — 2xy + 6y^2 = 2\);
Группируем слагаемые:
\(x(x — 3y) — 2y(x — 3y) = 2\);
Выносим общий множитель:
\((x — 2y)(x — 3y) = 2\);
Теперь решим уравнение, приравнивая каждую скобку к возможным значениям, чтобы произведение равнялось \(2\):
Первая система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = 2 \\ x — 3y = 1 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x — 2y + 3y = 2 — 1\);
\(y = 1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x — 2 \cdot 1 = 2\);
\(x = 4\);
Вторая система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = 1 \\ x — 3y = 2 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x — 2y + 3y = 1 — 2\);
\(y = -1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x — 2 \cdot (-1) = 1\);
\(x = -1\);
Третья система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = -1 \\ x — 3y = -2 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x — 2y + 3y = -1 + 2\);
\(y = 1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x — 2 \cdot 1 = -1\);
\(x = 1\);
Четвертая система уравнений:
\(\begin{cases} x — 2y = -2 \\ x — 3y = -1 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x — 2y + 3y = -2 + 1\);
\(y = -1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x — 2 \cdot (-1) = -2\);
\(x = -4\);
Ответ: \((4; 1)\); \((-1; -1)\); \((1; 1)\); \((-4; -1)\).
б) \(x^2 + 2xy — 8y^2 = 7\);
Разложим выражение в левой части уравнения на множители:
\(x^2 — 2xy + 4xy — 8y^2 = 7\);
Группируем слагаемые:
\(x(x — 2y) + 4y(x — 2y) = 7\);
Выносим общий множитель:
\((x + 4y)(x — 2y) = 7\);
Теперь решим уравнение, приравнивая каждую скобку к возможным значениям, чтобы произведение равнялось \(7\):
Первая система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = 7 \\ x — 2y = 1 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x + 4y + 2y = 7 — 1\);
\(6y = 6\);
\(y = 1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x + 4 \cdot 1 = 7\);
\(x = 3\);
Вторая система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x — 2y = 7 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x + 4y + 2y = 1 — 7\);
\(6y = -6\);
\(y = -1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x + 4 \cdot (-1) = 1\);
\(x = 5\);
Третья система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = -7 \\ x — 2y = -1 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x + 4y + 2y = -7 + 1\);
\(6y = -6\);
\(y = -1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x + 4 \cdot (-1) = -7\);
\(x = -3\);
Четвертая система уравнений:
\(\begin{cases} x + 4y = -1 \\ x — 2y = -7 \end{cases}\);
Вычтем первое уравнение из второго:
\(x — x + 4y + 2y = -1 + 7\);
\(6y = 6\);
\(y = 1\);
Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x + 4 \cdot 1 = -1\);
\(x = -5\);
Ответ: \((3; 1)\); \((5; -1)\); \((-3; -1)\); \((-5; 1)\).
