Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 58.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
а) \( 2|x — 3| + 2x — 3y ≤ 0 \)
б) \( x — 3 + |y + 2| ≥ 2x + 5 \)
Построить множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
а) \( 2|x — 3| + 2x — 3y ≤ 0 \)
Число под знаком модуля:
\( x — 3 ≥ 0 \)
\( x ≥ 3 \)
Если \( x ≥ 3 \), тогда:
\( 2(x — 3) + 2x — 3y ≤ 0 \)
\( 4x — 6 — 3y ≤ 0 \)
\( 3y ≥ 4x — 6 \)
\( y ≥ \frac{4}{3}x — 2 \)
\[
\begin{array}{c|c|c}
x & 0 & 3 \\
\hline
y & -2 & 2 \\
\end{array}
\]
Если \( x < 3 \), тогда:
\( -2(x — 3) + 2x — 3y ≤ 0 \)
\( 6 — 3y ≤ 0 \)
\( 3y ≥ 6 \)
\( y ≥ 2 \)
Множество точек:
б) \( x — 3 + |y + 2| ≥ 2x + 5 \)
Число под знаком модуля:
\( y + 2 ≥ 0 \)
\( y ≥ -2 \)
Если \( y ≥ -2 \), тогда:
\( x — 3 + (y + 2) ≥ 2x + 5 \)
\( x — 1 + y ≥ 2x + 5 \)
\( y ≥ x + 6 \)
\[
\begin{array}{c|c|c}
x & -6 & -2 \\
\hline
y & 0 & 4 \\
\end{array}
\]
Если \( y < -2 \), тогда:
\( x — 3 — (y + 2) ≥ 2x + 5 \)
\( x — 5 — y ≥ 2x + 5 \)
\( y ≤ -x — 10 \)
\[
\begin{array}{c|c|c}
x & -8 & -6 \\
\hline
y & -2 & -4 \\
\end{array}
\]
Множество точек:
а) \( 2|x — 3| + 2x — 3y ≤ 0 \)
Разберём знак модуля:
Число под знаком модуля: \( x — 3 \).
Для раскрытия модуля рассмотрим два случая:
Случай 1: \( x — 3 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ 3 \).
В этом случае модуль раскрывается как \( |x — 3| = x — 3 \).
Подставим в исходное неравенство:
\( 2(x — 3) + 2x — 3y ≤ 0 \)
Раскроем скобки:
\( 2x — 6 + 2x — 3y ≤ 0 \)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\( 4x — 6 — 3y ≤ 0 \)
Перенесём \( -6 \) вправо:
\( 4x — 3y ≤ 6 \)
Выразим \( y \):
\( 3y ≥ 4x — 6 \)
\( y ≥ \frac{4}{3}x — 2 \)
Построим график прямой \( y = \frac{4}{3}x — 2 \):
Для этого найдём две точки, через которые проходит прямая:
\[
\begin{array}{c|c|c}
x & 0 & 3 \\
\hline
y & -2 & 2 \\
\end{array}
\]
Прямая имеет положительный наклон, область решений лежит выше этой прямой.
Случай 2: \( x — 3 < 0 \), то есть \( x < 3 \).
В этом случае модуль раскрывается как \( |x — 3| = -(x — 3) = -x + 3 \).
Подставим в исходное неравенство:
\( 2(-x + 3) + 2x — 3y ≤ 0 \)
Раскроем скобки:
\( -2x + 6 + 2x — 3y ≤ 0 \)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\( 6 — 3y ≤ 0 \)
Перенесём \( 6 \) вправо:
\( -3y ≤ -6 \)
Разделим на \( -3 \) (меняя знак неравенства):
\( y ≥ 2 \)
Построим график прямой \( y = 2 \):
Прямая параллельна оси \( x \), область решений лежит выше этой прямой.
Множество точек:
Область решений состоит из объединения двух полуплоскостей:
- Для \( x ≥ 3 \): область выше прямой \( y = \frac{4}{3}x — 2 \).
- Для \( x < 3 \): область выше прямой \( y = 2 \).
б) \( x — 3 + |y + 2| ≥ 2x + 5 \)
Разберём знак модуля:
Число под знаком модуля: \( y + 2 \).
Для раскрытия модуля рассмотрим два случая:
Случай 1: \( y + 2 ≥ 0 \), то есть \( y ≥ -2 \).
В этом случае модуль раскрывается как \( |y + 2| = y + 2 \).
Подставим в исходное неравенство:
\( x — 3 + (y + 2) ≥ 2x + 5 \)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\( x — 1 + y ≥ 2x + 5 \)
Перенесём \( x \) вправо:
\( y ≥ x + 6 \)
Построим график прямой \( y = x + 6 \):
Для этого найдём две точки, через которые проходит прямая:
\[
\begin{array}{c|c|c}
x & -6 & -2 \\
\hline
y & 0 & 4 \\
\end{array}
\]
Прямая имеет положительный наклон, область решений лежит выше этой прямой.
Случай 2: \( y + 2 < 0 \), то есть \( y < -2 \).
В этом случае модуль раскрывается как \( |y + 2| = -(y + 2) = -y — 2 \).
Подставим в исходное неравенство:
\( x — 3 — (y + 2) ≥ 2x + 5 \)
Раскроем скобки:
\( x — 3 — y — 2 ≥ 2x + 5 \)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\( x — 5 — y ≥ 2x + 5 \)
Перенесём \( x \) вправо:
\( -y ≥ x + 10 \)
Умножим на \( -1 \) (меняя знак неравенства):
\( y ≤ -x — 10 \)
Построим график прямой \( y = -x — 10 \):
Для этого найдём две точки, через которые проходит прямая:
\[
\begin{array}{c|c|c}
x & -8 & -6 \\
\hline
y & -2 & -4 \\
\end{array}
\]
Прямая имеет отрицательный наклон, область решений лежит ниже этой прямой.
Множество точек:
Область решений состоит из объединения двух полуплоскостей:
- Для \( y ≥ -2 \): область выше прямой \( y = x + 6 \).
- Для \( y < -2 \): область ниже прямой \( y = -x — 10 \).
