Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 58.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( |x + y| + 2x — y \geq 3 \);
б) \(\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \leq 4 \)
Построить множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
а) \( |x + y| + 2x — y \geq 3 \);
Число под знаком модуля:
\( x + y \geq 0; \)
\( y \geq -x; \)
Если \( y \geq -x \), тогда:
\( (x + y) + 2x — y \geq 3; \)
\( 3x \geq 3; \)
\( x \geq 1; \)
Если \( y < -x \), тогда:
\( -(x + y) + 2x — y \geq 3; \)
\( x — 2y \geq 3; \)
\( 2y \leq x — 3; \)
\( y \leq \frac{1}{2}x — \frac{3}{2}; \)
| x | -1 | 3 |
|---|---|---|
| y | -2 | 0 |
\( \text{Множество точек:} \)
б) \(\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \leq 4; \)
Число под знаком модуля:
\( x + y \geq 0; \)
\( y \geq -x; \)
Если \( y \geq -x \), тогда:
\( \frac{x + y}{x + y} \cdot x + (x + y) + y \leq 4; \)
\( 2x + 2y \leq 4; \)
\( 2y \leq -2x + 4; \)
\( y \leq -x + 2; \)
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | 2 | 0 |
\( \text{Если } y < -x, \text{ тогда:} \)
\( \frac{-(x + y)}{x + y} \cdot x — (x + y) + y \leq 4; \)
\( -2x \leq 4; \)
\( x \geq -2; \)
\( \text{Множество точек:} \)
а) \( |x + y| + 2x — y \geq 3 \);
Рассмотрим модуль \( |x + y| \). Он принимает два случая:
1. Если \( x + y \geq 0 \), то \( |x + y| = x + y \).
2. Если \( x + y < 0 \), то \( |x + y| = -(x + y) \).
Число под знаком модуля:
\( x + y \geq 0; \)
\( y \geq -x; \)
Рассмотрим первый случай, когда \( y \geq -x \):
Подставим \( |x + y| = x + y \) в исходное неравенство:
\( (x + y) + 2x — y \geq 3; \)
Упростим выражение:
\( x + y + 2x — y \geq 3; \)
\( 3x \geq 3; \)
\( x \geq 1; \)
Таким образом, для случая \( y \geq -x \), множество точек удовлетворяет условию \( x \geq 1 \).
Рассмотрим второй случай, когда \( y < -x \):
Подставим \( |x + y| = -(x + y) \) в исходное неравенство:
\( -(x + y) + 2x — y \geq 3; \)
Раскроем скобки:
\( -x — y + 2x — y \geq 3; \)
\( x — 2y \geq 3; \)
Выразим \( y \):
\( 2y \leq x — 3; \)
\( y \leq \frac{1}{2}x — \frac{3}{2}; \)
Таким образом, для случая \( y < -x \), множество точек удовлетворяет условию \( y \leq \frac{1}{2}x — \frac{3}{2} \).
Итоговое множество точек состоит из двух областей:
- \( x \geq 1 \) при \( y \geq -x \);
- \( y \leq \frac{1}{2}x — \frac{3}{2} \) при \( y < -x \).
Для построения графика:
1. Прямая \( y = -x \) делит плоскость на две области: \( y \geq -x \) и \( y < -x \).
2. В области \( y \geq -x \) рисуем вертикальную линию \( x = 1 \), которая определяет множество точек.
3. В области \( y < -x \) рисуем прямую \( y = \frac{1}{2}x — \frac{3}{2} \), которая ограничивает множество точек.
Построим таблицу значений для проверки:
| x | -1 | 3 |
|---|---|---|
| y | -2 | 0 |
б) \(\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \leq 4; \)
Число под знаком модуля:
\( x + y \geq 0; \)
\( y \geq -x; \)
Рассмотрим первый случай, когда \( y \geq -x \):
Подставим \( |x + y| = x + y \):
\( \frac{x + y}{x + y} \cdot x + (x + y) + y \leq 4; \)
Упростим выражение:
\( x + x + y + y \leq 4; \)
\( 2x + 2y \leq 4; \)
Выразим \( y \):
\( 2y \leq -2x + 4; \)
\( y \leq -x + 2; \)
Рассмотрим второй случай, когда \( y < -x \):
Подставим \( |x + y| = -(x + y) \):
\( \frac{-(x + y)}{x + y} \cdot x — (x + y) + y \leq 4; \)
Упростим выражение:
\( -x — x — y + y \leq 4; \)
\( -2x \leq 4; \)
\( x \geq -2; \)
Итоговое множество точек состоит из двух областей:
- \( y \leq -x + 2 \) при \( y \geq -x \);
- \( x \geq -2 \) при \( y < -x \).
Для построения графика:
1. Прямая \( y = -x \) делит плоскость на две области: \( y \geq -x \) и \( y < -x \).
2. В области \( y \geq -x \) рисуем прямую \( y = -x + 2 \), которая ограничивает множество точек.
3. В области \( y < -x \) рисуем вертикальную линию \( x = -2 \), которая определяет множество точек.
Построим таблицу значений для проверки:
| x | 0 | 2 |
|---|---|---|
| y | 2 | 0 |
