Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 58.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( y = \sqrt{1 — x^2} \);
б) \( |y| = -\sqrt{1 — (x — 1)^2} \);
в) \( y + 2 = -\sqrt{1 — x^2} \);
г) \( |y| = -\sqrt{1 — x^2} + 3 \)
Построить график уравнения:
а) \( y = \sqrt{1 — x^2} \);
\( y^2 = 1 — x^2 \);
\( x^2 + y^2 = 1 \);
Дано уравнение окружности:
\( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), \( R = 1 \);
Уравнение имеет решения при:
\( y \ge 0 \);
Выражение имеет смысл при:
\( 1 — x^2 \ge 0 \);
\( x^2 \le 1 \);
\( |x| \le 1 \);
График уравнения:
б) \( |y| = -\sqrt{1 — (x — 1)^2} \);
\( |y| + \sqrt{1 — (x — 1)^2} = 0 \);
Первое слагаемое:
\( |y| \ge 0 \);
\( y = 0 \);
Второе слагаемое:
\( \sqrt{1 — (x — 1)^2} \ge 0 \);
\( 1 — (x — 1)^2 = 0 \);
\( 1 = x^2 — 2x + 1 \);
\( x^2 — 2x = 0 \);
\( x(x — 2) = 0 \);
\( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \);
График уравнения:
в) \( y + 2 = -\sqrt{1 — x^2} \);
\( -(y + 2) = \sqrt{1 — x^2} \);
\( (y + 2)^2 = 1 — x^2 \);
\( x^2 + (y + 2)^2 = 1 \);
Дано уравнение окружности:
\( x_0 = 0 \), \( y_0 = -2 \), \( R = 1 \);
Уравнение имеет решения при:
\( -(y + 2) \ge 0 \);
\( y + 2 \le 0 \);
\( y \le -2 \);
Выражение имеет смысл при:
\( 1 — x^2 \ge 0 \);
\( x^2 \le 1 \);
\( |x| \le 1 \);
График уравнения:
г) \( |y| = -\sqrt{1 — x^2} + 3 \);
\( \sqrt{1 — x^2} = 3 — |y| \);
\( 1 — x^2 = (3 — |y|)^2 \);
\( x^2 + (|y| — 3)^2 = 1 \);
Если \( y \ge 0 \), тогда:
\( x^2 + (y — 3)^2 = 1 \);
Дано уравнение окружности:
\( x_0 = 0 \), \( y_0 = 3 \), \( R = 1 \);
Уравнение имеет решения при:
\( 3 — |y| \ge 0 \);
\( |y| \le 3 \);
Выражение имеет смысл при:
\( 1 — x^2 \ge 0 \);
\( x^2 \le 1 \);
\( |x| \le 1 \);
График симметричен относительно оси абсцисс:
а) Уравнение задано в виде:
\( y = \sqrt{1 — x^2} \).
Возведем обе стороны в квадрат:
\( y^2 = 1 — x^2 \).
Перенесем \( x^2 \) в левую часть:
\( x^2 + y^2 = 1 \).
Данное уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((x_0 = 0, y_0 = 0)\) и радиусом \( R = 1 \).
Уравнение имеет решения при условии:
\( y \ge 0 \), так как квадратный корень всегда неотрицателен.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\( 1 — x^2 \ge 0 \).
Решим неравенство:
\( x^2 \le 1 \).
Возьмем модуль \( x \):
\( |x| \le 1 \).
График уравнения представляет собой верхнюю полуокружность радиуса \( R = 1 \), ограниченную интервалом \(-1 \le x \le 1\).
б) Уравнение задано в виде:
\( |y| = -\sqrt{1 — (x — 1)^2} \).
Перенесем \(-\sqrt{1 — (x — 1)^2}\) в левую часть:
\( |y| + \sqrt{1 — (x — 1)^2} = 0 \).
Рассмотрим первое слагаемое:
\( |y| \ge 0 \), так как модуль всегда неотрицателен.
Отсюда следует, что \( y = 0 \).
Рассмотрим второе слагаемое:
\( \sqrt{1 — (x — 1)^2} \ge 0 \), так как квадратный корень всегда неотрицателен.
Решим уравнение:
\( 1 — (x — 1)^2 = 0 \).
Раскроем скобки:
\( 1 = x^2 — 2x + 1 \).
Упростим выражение:
\( x^2 — 2x = 0 \).
Вынесем \( x \) за скобки:
\( x(x — 2) = 0 \).
Отсюда:
\( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).
Таким образом, график уравнения состоит из двух точек: \((0, 0)\) и \((2, 0)\).
в) Уравнение задано в виде:
\( y + 2 = -\sqrt{1 — x^2} \).
Перенесем \( -(y + 2) \) в левую часть:
\( -(y + 2) = \sqrt{1 — x^2} \).
Возведем обе стороны в квадрат:
\( (y + 2)^2 = 1 — x^2 \).
Перенесем \( x^2 \) в левую часть:
\( x^2 + (y + 2)^2 = 1 \).
Данное уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((x_0 = 0, y_0 = -2)\) и радиусом \( R = 1 \).
Уравнение имеет решения при условии:
\( -(y + 2) \ge 0 \), что эквивалентно:
\( y + 2 \le 0 \).
Отсюда:
\( y \le -2 \).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\( 1 — x^2 \ge 0 \).
Решим неравенство:
\( x^2 \le 1 \).
Возьмем модуль \( x \):
\( |x| \le 1 \).
График уравнения представляет собой нижнюю полуокружность радиуса \( R = 1 \), ограниченную интервалом \(-1 \le x \le 1\).
г) Уравнение задано в виде:
\( |y| = -\sqrt{1 — x^2} + 3 \).
Перенесем \( -\sqrt{1 — x^2} \) в левую часть:
\( \sqrt{1 — x^2} = 3 — |y| \).
Возведем обе стороны в квадрат:
\( 1 — x^2 = (3 — |y|)^2 \).
Перенесем \( x^2 \) в левую часть:
\( x^2 + (|y| — 3)^2 = 1 \).
Если \( y \ge 0 \), тогда:
\( x^2 + (y — 3)^2 = 1 \).
Данное уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((x_0 = 0, y_0 = 3)\) и радиусом \( R = 1 \).
Уравнение имеет решения при условии:
\( 3 — |y| \ge 0 \), что эквивалентно:
\( |y| \le 3 \).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\( 1 — x^2 \ge 0 \).
Решим неравенство:
\( x^2 \le 1 \).
Возьмем модуль \( x \):
\( |x| \le 1 \).
График симметричен относительно оси абсцисс.
