ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений методом подстановки:

а) \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + 2y^2 — xy + 2x — 3y = 3 \end{cases} \);

б) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} \);

в) \( \begin{cases} \sqrt{7 — 6x — y^2} = y + 5 \\ y = x — 1 \end{cases} \);

г) \( \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x^2 + 3xy — 3y^2 = 6 \end{cases} \)

Решить систему уравнений методом подстановки:

а) \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + 2y^2 — xy + 2x — 3y = 3 \end{cases} \);
Из первого уравнения:
\( y = 3 — x \);
Из второго уравнения:
\( x^2 + 2(3 — x)^2 — x(3 — x) + 2x — 3(3 — x) = 3 \);
\( x^2 + 18 — 12x + 2x^2 — 3x + x^2 + 2x — 9 + 3x — 3 = 0 \);
\( 4x^2 — 10x + 6 = 0 \);
\( 2x^2 — 5x + 3 = 0 \);
\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1 \), тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \) и \( x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5 \);
\( y_1 = 3 — 1 = 2 \) и \( y_2 = 3 — 1,5 = 1,5 \);
Ответ: \( (1; 2) \); \( (1,5; 1,5) \).

б) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} \);
Из первого уравнения:
\( y = 5 — x \);
Из второго уравнения:
\( (x + y)(x^2 — xy + y^2) = 35 \);
\( 5 \cdot (x^2 — x(5 — x) + (5 — x)^2) = 35 \);
\( x^2 — 5x + x^2 + 25 — 10x + x^2 = 7 \);
\( 3x^2 — 15x + 18 = 0 \);
\( x^2 — 5x + 6 = 0 \);
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \), тогда:
\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \);
\( y_1 = 5 — 2 = 3 \) и \( y_2 = 5 — 3 = 2 \);
Ответ: \( (2; 3) \); \( (3; 2) \).

в) \( \begin{cases} \sqrt{7 — 6x — y^2} = y + 5 \\ y = x — 1 \end{cases} \);
Из первого уравнения:
\( \sqrt{7 — 6x — (x — 1)^2} = x — 1 + 5 \);
\( \sqrt{7 — 6x — x^2 + 2x — 1} = x + 4 \);
\( \sqrt{-x^2 — 4x + 6} = x + 4 \);
\( -x^2 — 4x + 6 = x^2 + 8x + 16 \);
\( 2x^2 + 12x + 10 = 0 \);
\( x^2 + 6x + 5 = 0 \);
\( D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \);
Выполним проверку:
\( -5 + 4 = -1 < 0 \);
\( \sqrt{-(-1)^2 — 4 \cdot (-1) + 6 — (-1 + 4)} = \sqrt{9} — 3 = 0 \);
Решения системы уравнений:
\( x = -1 \);
\( y = -1 — 1 = -2 \);
Ответ: \( (-1; -2) \).

г) \( \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x^2 + 3xy — 3y^2 = 6 \end{cases} \);
Из первого уравнения:
\( x = 1 — 2y \);
Из второго уравнения:
\( 2(1 — 2y)^2 + 3y(1 — 2y) — 3y^2 = 6 \);
\( 2 — 8y + 8y^2 + 3y — 6y^2 — 3y^2 = 6 \);
\( y^2 + 5y + 4 = 0 \);
\( D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \), тогда:
\( y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \) и \( y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \);
\( x_1 = 1 — 2 \cdot (-4) = 9 \) и \( x_2 = 1 — 2 \cdot (-1) = 3 \);
Ответ: \( (9; -4) \); \( (3; -1) \).

а) \( \begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + 2y^2 — xy + 2x — 3y = 3 \end{cases} \);

1. Из первого уравнения выразим \( y \):
\( y = 3 — x \).

2. Подставим \( y = 3 — x \) во второе уравнение:
\( x^2 + 2(3 — x)^2 — x(3 — x) + 2x — 3(3 — x) = 3 \).

3. Раскроем скобки:
\( x^2 + 2(9 — 6x + x^2) — x(3 — x) + 2x — 9 + 3x — 3 = 3 \).

4. Упростим выражения:
\( x^2 + 18 — 12x + 2x^2 — 3x + x^2 + 2x — 9 + 3x — 3 = 3 \).

5. Сгруппируем подобные слагаемые:
\( 4x^2 — 10x + 6 = 0 \).

6. Разделим на 2:
\( 2x^2 — 5x + 3 = 0 \).

7. Найдем дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1 \).

8. Найдем корни уравнения:
\( x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \),
\( x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1,5 \).

9. Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
\( y_1 = 3 — 1 = 2 \),
\( y_2 = 3 — 1,5 = 1,5 \).

Ответ: \( (1; 2) \); \( (1,5; 1,5) \).

б) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} \);

1. Из первого уравнения выразим \( y \):
\( y = 5 — x \).

2. Подставим \( y = 5 — x \) во второе уравнение:
\( (x + y)(x^2 — xy + y^2) = 35 \).

3. Так как \( x + y = 5 \), упростим выражение:
\( 5 \cdot (x^2 — x(5 — x) + (5 — x)^2) = 35 \).

4. Раскроем скобки:
\( 5 \cdot (x^2 — 5x + x^2 + 25 — 10x + x^2) = 35 \).

5. Упростим выражения:
\( 5 \cdot (3x^2 — 15x + 25) = 35 \).

6. Разделим на 5:
\( 3x^2 — 15x + 18 = 0 \).

7. Разделим на 3:
\( x^2 — 5x + 6 = 0 \).

8. Найдем дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \).

9. Найдем корни уравнения:
\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \),
\( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \).

10. Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
\( y_1 = 5 — 2 = 3 \),
\( y_2 = 5 — 3 = 2 \).

Ответ: \( (2; 3) \); \( (3; 2) \).

в) \( \begin{cases} \sqrt{7 — 6x — y^2} = y + 5 \\ y = x — 1 \end{cases} \);

1. Из второго уравнения выразим \( y \):
\( y = x — 1 \).

2. Подставим \( y = x — 1 \) в первое уравнение:
\( \sqrt{7 — 6x — (x — 1)^2} = x — 1 + 5 \).

3. Раскроем скобки:
\( \sqrt{7 — 6x — (x^2 — 2x + 1)} = x + 4 \).

4. Упростим выражение:
\( \sqrt{7 — 6x — x^2 + 2x — 1} = x + 4 \).

5. Сгруппируем подобные слагаемые:
\( \sqrt{-x^2 — 4x + 6} = x + 4 \).

6. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\( -x^2 — 4x + 6 = x^2 + 8x + 16 \).

7. Перенесем все в одну сторону:
\( 2x^2 + 12x + 10 = 0 \).

8. Разделим на 2:
\( x^2 + 6x + 5 = 0 \).

9. Найдем дискриминант:
\( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 \).

10. Найдем корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-6 — 4}{2} = -5 \),
\( x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = -1 \).

11. Выполним проверку:
Для \( x = -5 \):
\( -5 + 4 = -1 < 0 \) (не подходит).
Для \( x = -1 \):
\( y = -1 — 1 = -2 \).

Ответ: \( (-1; -2) \).

г) \( \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x^2 + 3xy — 3y^2 = 6 \end{cases} \);

1. Из первого уравнения выразим \( x \):
\( x = 1 — 2y \).

2. Подставим \( x = 1 — 2y \) во второе уравнение:
\( 2(1 — 2y)^2 + 3y(1 — 2y) — 3y^2 = 6 \).

3. Раскроем скобки:
\( 2(1 — 4y + 4y^2) + 3y — 6y^2 — 3y^2 = 6 \).

4. Упростим выражение:
\( 2 — 8y + 8y^2 + 3y — 6y^2 — 3y^2 = 6 \).

5. Сгруппируем подобные слагаемые:
\( y^2 + 5y + 4 = 0 \).

6. Найдем дискриминант:
\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \).

7. Найдем корни уравнения:
\( y_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \),
\( y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \).

8. Найдем \( x \) для каждого значения \( y \):
\( x_1 = 1 — 2 \cdot (-4) = 9 \),
\( x_2 = 1 — 2 \cdot (-1) = 3 \).

Ответ: \( (9; -4) \); \( (3; -1) \).