ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

а) \(\begin{cases} y + 2x = 3 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}\);

б) \(\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ y = \log_2 x \end{cases}\)

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} y + 2x = 3 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}\);

Из первого уравнения:
\(y = 3 — 2x;\)

Из второго уравнения:
\(x^2 + (3 — 2x)^2 = 2;\)
\(x^2 + 9 — 12x + 4x^2 — 2 = 0;\)
\(5x^2 — 12x + 7 = 0;\)
\(D = 12^2 — 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 — 140 = 4,\) тогда:
\(x_1 = \frac{12 — 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1\) и \(x_2 = \frac{12 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{14}{10} = 1,4;\)
\(y_1 = 3 — 2 \cdot 1 = 1\) и \(y_2 = 3 — 2 \cdot 1,4 = 0,2;\)

Ответ: \((1; 1); (1,4; 0,2).\)

б) \(\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ y = \log_2 x \end{cases};\)

Из первого уравнения:
\(\frac{1}{9} \log_2 x = \left(\frac{1}{3}\right)^x;\)

Выражение имеет смысл при:
\(x > 0;\)

Разделим уравнение на две функции:
\(f(x) = \frac{1}{9} \log_2 x\) — возрастает при \(x > 0;\)
\(g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x\) — убывает при \(x > 0;\)

Методом перебора найдем решение:
\(f(2) = \frac{1}{9} \cdot \log_2 2 = \frac{1}{9};\)
\(g(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9};\)

Решения системы уравнений:
\(x = 2;\)
\(y = \log_2 2 = 1;\)

Ответ: \((2; 1).\)

а) Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} y + 2x = 3 \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}\)

1. Из первого уравнения выразим \(y\):

\(y + 2x = 3\)
\(y = 3 — 2x\)

2. Подставим выражение \(y = 3 — 2x\) во второе уравнение:

\(x^2 + y^2 = 2\)
\(x^2 + (3 — 2x)^2 = 2\)

3. Раскроем скобки во втором уравнении:

\(x^2 + (3 — 2x)^2 = x^2 + 9 — 12x + 4x^2\)
Подставляем в уравнение:
\(x^2 + 9 — 12x + 4x^2 — 2 = 0\)

4. Приведем подобные слагаемые:

\(5x^2 — 12x + 7 = 0\)

5. Найдем дискриминант квадратного уравнения:

\(D = b^2 — 4ac = (-12)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 — 140 = 4\)

6. Найдем корни квадратного уравнения:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{12 — 2}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1\)
\(x_2 = \frac{12 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{14}{10} = 1,4\)

7. Найдем соответствующие значения \(y\):

Для \(x_1 = 1:\)
\(y_1 = 3 — 2 \cdot 1 = 1\)
Для \(x_2 = 1,4:\)
\(y_2 = 3 — 2 \cdot 1,4 = 0,2\)

Ответ: \((1; 1); (1,4; 0,2).\)

б) Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} \frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \\ y = \log_2 x \end{cases}\)

1. Перепишем первое уравнение:

\(\frac{y}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x\)
Умножим обе части на \(9\):
\(y = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x\)

2. Подставим \(y = \log_2 x\) из второго уравнения в первое:

\(\frac{\log_2 x}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^x\)

3. Найдем область определения выражения:

Логарифм \(\log_2 x\) определен при \(x > 0\). Следовательно, \(x > 0\).

4. Разделим уравнение на две функции:

\(f(x) = \frac{1}{9} \log_2 x\) — возрастает при \(x > 0\)
\(g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x\) — убывает при \(x > 0\)

5. Используем метод подбора, чтобы найти точки пересечения графиков:

Для \(x = 2:\)
\(f(2) = \frac{1}{9} \cdot \log_2 2 = \frac{1}{9}\) (так как \(\log_2 2 = 1\))
\(g(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\)

Значения \(f(2)\) и \(g(2)\) совпадают, следовательно, \(x = 2\) — это решение системы.

6. Найдем \(y\):

Подставим \(x = 2\) во второе уравнение:
\(y = \log_2 x = \log_2 2 = 1\)

Ответ: \((2; 1).\)