ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(\begin{cases} 2 \sin(x + y) — 3 \cos(x — y) = 5 \\ 7 \cos(x — y) + 5 \sin(x + y) = -2 \end{cases}\)

б) \(\begin{cases} x^4 — y^4 = 15 \\ x^4 + y^4 = 17 \end{cases}\)

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} 2 \sin(x + y) — 3 \cos(x — y) = 5 \\ 7 \cos(x — y) + 5 \sin(x + y) = -2 \end{cases}\)

Пусть \(u = \sin(x + y)\) и \(t = \cos(x — y)\), тогда:

\(\begin{cases} 2u — 3t = 5 \quad | \cdot 5 \\ 7t + 5u = -2 \quad | \cdot 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10u — 15t = 25 \\ 10u + 14t = -4 \end{cases}\)

Решим систему:

\( -29t = 29 \)
\( t = -1 \)

Из первого уравнения:

\( 2u — 3 \cdot (-1) = 5 \)
\( 2u = 2 \)
\( u = 1 \)

Вернем замену:

\(\begin{cases} \sin(x + y) = 1 \\ \cos(x — y) = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x — y = \pi + 2\pi k \end{cases}\)

Сложим два уравнения:

\( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(n + k) \)
\( x = \frac{3\pi}{4} + \pi(n + k) \)

Из второго уравнения:

\( \frac{3\pi}{4} + \pi n + \pi k — y = \pi + 2\pi k \)
\( y = -\frac{\pi}{4} + \pi(n — k) \)

Ответ: \(\left( \frac{3\pi}{4} + \pi(n + k); -\frac{\pi}{4} + \pi(n — k) \right)\)

б) \(\begin{cases} x^4 — y^4 = 15 \\ x^4 + y^4 = 17 \end{cases}\)

Сложим уравнения:

\( 2x^4 = 32 \)
\( x^4 = 16 \)
\( x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2 \)

Из второго уравнения:

\( 16 + y^4 = 17 \)
\( y^4 = 1 \)
\( y = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 \)

Ответ: \((-2; -1); (-2; 1); (2; -1); (2; 1)\)

а) Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} 2 \sin(x + y) — 3 \cos(x — y) = 5 \\ 7 \cos(x — y) + 5 \sin(x + y) = -2 \end{cases}\)

1. Введем замену:

Пусть \(u = \sin(x + y)\) и \(t = \cos(x — y)\). Тогда система примет вид:
\(\begin{cases} 2u — 3t = 5 \\ 7t + 5u = -2 \end{cases}\)

2. Умножим первое уравнение на \(5\), а второе — на \(2\), чтобы коэффициенты при \(u\) стали одинаковыми:

\(\begin{cases} 10u — 15t = 25 \\ 10u + 14t = -4 \end{cases}\)

3. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить \(u\):

\( (10u + 14t) — (10u — 15t) = -4 — 25 \)
\( 29t = -29 \)
\( t = -1 \)

4. Подставим значение \(t = -1\) в первое уравнение для нахождения \(u\):

\( 2u — 3 \cdot (-1) = 5 \)
\( 2u + 3 = 5 \)
\( 2u = 2 \)
\( u = 1 \)

5. Вернемся к исходной системе и подставим найденные значения \(u = 1\) и \(t = -1\):

\(\begin{cases} \sin(x + y) = 1 \\ \cos(x — y) = -1 \end{cases}\)

6. Решим каждое уравнение отдельно:

Из \(\sin(x + y) = 1\):
\(x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
Из \(\cos(x — y) = -1\):
\(x — y = \pi + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

7. Сложим два уравнения, чтобы найти \(x\):

\( (x + y) + (x — y) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n + \pi + 2\pi k \)
\( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(n + k) \)
\( x = \frac{3\pi}{4} + \pi(n + k) \)

8. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти \(y\):

\( (x + y) — (x — y) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — (\pi + 2\pi k) \)
\( 2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n — k) \)
\( y = -\frac{\pi}{4} + \pi(n — k) \)

9. Запишем общий ответ:

Ответ: \(\left( \frac{3\pi}{4} + \pi(n + k); -\frac{\pi}{4} + \pi(n — k) \right)\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\).

б) Решить систему уравнений:

\(\begin{cases} x^4 — y^4 = 15 \\ x^4 + y^4 = 17 \end{cases}\)

1. Сложим два уравнения, чтобы исключить \(y^4\):

\( (x^4 — y^4) + (x^4 + y^4) = 15 + 17 \)
\( 2x^4 = 32 \)
\( x^4 = 16 \)

2. Найдем \(x\):

\( x = \pm \sqrt[4]{16} = \pm 2 \)

3. Подставим \(x^4 = 16\) во второе уравнение для нахождения \(y^4\):

\( 16 + y^4 = 17 \)
\( y^4 = 1 \)

4. Найдем \(y\):

\( y = \pm \sqrt[4]{1} = \pm 1 \)

5. Запишем все возможные пары значений \((x; y)\):

Ответ: \((-2; -1); (-2; 1); (2; -1); (2; 1)\).