ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{y — x}{2x}} — \sqrt{\frac{x}{x + y}} = \frac{1}{2} \\
16 \sqrt{\frac{x}{x + y}} — 7 \sqrt{\frac{y — x}{2x}} = 1
\end{array}
\right.
\]

б)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
2^{y+x} — 3^{x-y} = 1 \\
2^{x+y} + 3^{x-y} = 3
\end{array}
\right.
\]

Решить систему уравнений:

а)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{y — x}{2x}} — \sqrt{\frac{x}{x + y}} = \frac{1}{2} \\
16 \sqrt{\frac{x}{x + y}} — 7 \sqrt{\frac{y — x}{2x}} = 1
\end{array}
\right.
;
\]
Пусть \( u = \sqrt{\frac{y — x}{2x}} \) и \( t = \sqrt{\frac{x}{x + y}} \), тогда:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u — t = 0,5 \\
16t — 7u = 1
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
t = u — 0,5 \\
16t — 7u = 1
\end{array}
\right.
;
\]
\( 16(u — 0,5) — 7u = 1; \)
\( 16u — 8 — 7u = 1; \)
\( 9u = 9; \)
\( u = 1; \)
\( t = 1 — 0,5 = \frac{1}{2}; \)
Вернем замену:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{y — x}{2x}} = 1 \\
\sqrt{\frac{x}{x + y}} = \frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{y — x}{2x} = 1 \\
\frac{x}{x + y} = \frac{1}{4}
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
y — x = 2x \\
4x = x + y
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
y = 3x \\
3x = y
\end{array}
\right.
;
\]
Если \( x = k \), тогда:
\( y = 3k; \)

Выражение имеет смысл при:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
2x \ne 0 \\
x + y \ne 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
2k \ne 0 \\
k + 3k \ne 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
2k \ne 0 \\
4k \ne 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow
k \ne 0;
\]
Ответ: \( (k; 3k), k \ne 0. \)

б)
\[
\left\{
\begin{array}{l}
2^{y+x} — 3^{x-y} = 1 \\
2^{x+y} + 3^{x-y} = 3
\end{array}
\right.
+;
\]
\( 2 \cdot 2^{x+y} = 4; \)
\( 2^{x+y} = 2; \)
\( x + y = 1; \)
\( y = 1 — x; \)
Из второго уравнения:
\( 2^{x+(1-x)} + 3^{x-(1-x)} = 3; \)
\( 2^1 + 3^{2x-1} = 3; \)
\( 3^{2x-1} = 1; \)
\( 2x — 1 = 0; \)
\( 2x = 1; \)
\( x = 0,5; \)
\( y = 1 — 0,5 = 0,5; \)
Ответ: \( (0,5; 0,5). \)

а) Дана система уравнений:

\(
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{y — x}{2x}} — \sqrt{\frac{x}{x + y}} = \frac{1}{2}, \\
16 \sqrt{\frac{x}{x + y}} — 7 \sqrt{\frac{y — x}{2x}} = 1
\end{array}
\right.
\)

Введем замену:

\(
u = \sqrt{\frac{y — x}{2x}}, \quad t = \sqrt{\frac{x}{x + y}}
\)

Тогда система примет вид:

\(
\left\{
\begin{array}{l}
u — t = 0.5, \\
16t — 7u = 1
\end{array}
\right.
\)

Выразим \( t \) из первого уравнения:

\(
t = u — 0.5
\)

Подставим \( t \) во второе уравнение:

\(
16(u — 0.5) — 7u = 1
\)

Раскроем скобки:

\(
16u — 8 — 7u = 1
\)

Приведем подобные:

\(
9u = 9
\)

Найдем \( u \):

\(
u = 1
\)

Найдем \( t \):

\(
t = 1 — 0.5 = \frac{1}{2}
\)

Вернемся к замене:

\(
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{y — x}{2x}} = 1, \\
\sqrt{\frac{x}{x + y}} = \frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\)

Возведем обе части каждого уравнения в квадрат:

\(
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{y — x}{2x} = 1, \\
\frac{x}{x + y} = \frac{1}{4}
\end{array}
\right.
\)

Рассмотрим первое уравнение:

\(
y — x = 2x
\)

Рассмотрим второе уравнение:

\(
4x = x + y
\)

Подставим \( y = 3x \):

\(
\left\{
\begin{array}{l}
y = 3x, \\
3x = y
\end{array}
\right.
\)

Общее решение:

\(
x = k, \quad y = 3k
\)

Условие смысла выражений:

\(
\left\{
\begin{array}{l}
2x \ne 0, \\
x + y \ne 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
2k \ne 0, \\
4k \ne 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow
k \ne 0
\)

Ответ: \(
(k; 3k), \quad k \ne 0
\)

б) Дана система уравнений:

\(
\left\{
\begin{array}{l}
2^{y+x} — 3^{x-y} = 1, \\
2^{x+y} + 3^{x-y} = 3
\end{array}
\right.
\)

Сложим оба уравнения:

\(
2 \cdot 2^{x+y} = 4
\)

Найдем \( 2^{x+y} \):

\(
2^{x+y} = 2
\)

Следовательно:

\(
x + y = 1
\)

Выразим \( y \):

\(
y = 1 — x
\)

Подставим во второе уравнение:

\(
2^{x+(1-x)} + 3^{x-(1-x)} = 3
\)

Упростим:

\(
2^1 + 3^{2x-1} = 3
\)

Найдем \( 3^{2x-1} \):

\(
3^{2x-1} = 1
\)

Следовательно:

\(
2x — 1 = 0
\)

Найдем \( x \):

\(
2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0.5
\)

Найдем \( y \):

\(
y = 1 — 0.5 = 0.5
\)

Ответ: \(
(0.5; 0.5)
\)