ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(\begin{cases} \sqrt{x+1} — y = 2 \\ \log_7(4-x) = y \end{cases}\);

б) \(\begin{cases} y + x = 1 \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}\)

Решить систему уравнений:

а) \(\begin{cases} \sqrt{x+1} — y = 2 \\ \log_7(4-x) = y \end{cases}\);

Из первого уравнения:

\(\sqrt{x+1} — \log_7(4-x) = 2\);
\(\sqrt{x+1} — 2 = \log_7(4-x)\);

Выражение имеет смысл при:

\(\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ 4-x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -1 \\ x < 4 \end{cases} \Rightarrow -1 \leq x < 4\);

Разделим уравнение на две функции:

\(f(x) = \sqrt{x+1} — 2\) — возрастает при \(-1 \leq x < 4\);
\(g(x) = \log_7(4-x)\) — убывает при \(-1 \leq x < 4\);

Методом перебора найдем решение:

\(f(3) = \sqrt{3+1} — 2 = \sqrt{4} — 2 = 2 — 2 = 0\);
\(g(3) = \log_7(4-3) = \log_7 1 = 0\);

\(x = 3\);
\(y = \log_7(4-3) = 0\);
Ответ: \((3; 0)\).

б) \(\begin{cases} y + x = 1 \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}\)

Из первого уравнения:

\(y = 1 — x\);

Из второго уравнения:

\(2^{x-(1-x)} = 4^1 \cdot (2^3)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-1}\);
\(2^{2x-1} = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^{-1}\);
\(2^{2x-1} = 2^3\);
\(2x — 1 = 3\);
\(2x = 4\);
\(x = 2\);
\(y = 1 — 2 = -1\);

Ответ: \((2; -1)\).

а) \(\begin{cases} \sqrt{x+1} — y = 2 \\ \log_7(4-x) = y \end{cases}\)

1. Подставим \(y = \log_7(4-x)\) из второго уравнения в первое:

\(\sqrt{x+1} — \log_7(4-x) = 2\).

2. Перенесем \(-\log_7(4-x)\) вправо:

\(\sqrt{x+1} — 2 = \log_7(4-x)\).

3. Найдем область определения системы:

Для \(\sqrt{x+1}\) необходимо, чтобы \(x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\).
Для \(\log_7(4-x)\) необходимо, чтобы \(4-x > 0 \Rightarrow x < 4\).

Таким образом, область определения: \(-1 \leq x < 4\).

4. Разделим уравнение на две функции:

\(f(x) = \sqrt{x+1} — 2\), \(g(x) = \log_7(4-x)\).

5. Исследуем функцию \(f(x)\):

\(f(x) = \sqrt{x+1} — 2\).
Производная \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\), она положительна при \(x \geq -1\).
Следовательно, \(f(x)\) возрастает на \([-1; 4)\).

6. Исследуем функцию \(g(x)\):

\(g(x) = \log_7(4-x)\).
Производная \(g'(x) = -\frac{1}{(4-x)\ln 7}\), она отрицательна при \(x < 4\).
Следовательно, \(g(x)\) убывает на \([-1; 4)\).

7. Найдем точку пересечения методом подстановки:

Подставим \(x = 3\):
\(f(3) = \sqrt{3+1} — 2 = \sqrt{4} — 2 = 2 — 2 = 0\);
\(g(3) = \log_7(4-3) = \log_7 1 = 0\).

8. Проверим, что \(f(3) = g(3)\):

\(f(3) = g(3) = 0\), следовательно, \(x = 3\).

9. Найдем \(y\):

\(y = \log_7(4-3) = 0\).

Ответ для пункта а: \((3; 0)\).

б) \(\begin{cases} y + x = 1 \\ 2^{x-y} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} \end{cases}\)

1. Выразим \(y\) из первого уравнения:

\(y = 1 — x\).

2. Подставим \(y = 1 — x\) во второе уравнение:

\(2^{x-(1-x)} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} \cdot \frac{8^{\frac{2}{3}}}{2}\).

3. Упростим левую часть уравнения:

\(x — (1 — x) = x — 1 + x = 2x — 1\),
тогда \(2^{x-(1-x)} = 2^{2x-1}\).

4. Упростим правую часть уравнения:

\(\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4\),
\(8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4\),
\(\frac{8^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{4}{2} = 2\),
тогда правая часть равна \(4 \cdot 2 = 8\).

5. Получаем уравнение:

\(2^{2x-1} = 2^3\).

6. Приравняем показатели степени:

\(2x — 1 = 3\).

7. Решим уравнение для \(x\):

\(2x = 4\),
\(x = 2\).

8. Найдем \(y\):

\(y = 1 — x = 1 — 2 = -1\).

Ответ для пункта б: \((2; -1)\).