Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\left\{\begin{array}{l}(2x+y)(x+3y)=48 \\ \frac{2x+y}{x+3y}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\);
б) \(\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{y+2}=4 \\ (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=17\end{array}\right.\);
Решить систему уравнений:
а) \(\left\{\begin{array}{l}(2x+y)(x+3y)=48 \\ \frac{2x+y}{x+3y}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\);
Пусть \(u=2x+y\) и \(t=x+3y\), тогда:
\(\left\{\begin{array}{l}ut=48 \\ \frac{u}{t}=\frac{3}{4}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}ut=48 \\ u=\frac{3t}{4}\end{array}\right.\);
\(\frac{3t}{4} \cdot t=48 \quad | \cdot \frac{4}{3}\);
\(t^{2}=64\);
\(t=\pm \sqrt{64}=\pm 8\);
\(u=\frac{3 \cdot(\pm 8)}{4}=\pm 3 \cdot 2=\pm 6\);
Первая пара значений:
\(\left\{\begin{array}{l}2x+y=-6 \\ x+3y=-8\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=-2x-6 \\ x+3y=-8\end{array}\right.\);
\(x+3(-2x-6)=-8\);
\(x-6x-18=-8\);
\(-5x=10\),
\(x=-2\);
\(y=-2 \cdot(-2)-6=4-6=-2\);
Вторая пара значений:
\(\left\{\begin{array}{l}2x+y=6 \\ x+3y=8\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=6-2x \\ x+3y=8\end{array}\right.\);
\(x+3(6-2x)=8\);
\(x+18-6x=8\);
\(-5x=-10\);
\(x=2\);
\(y=6-2 \cdot 2=6-4=2\);
Ответ: \((-2 ;-2) ;(2 ; 2)\).
б) \(\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{y+2}=4 \\ (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=17\end{array}\right.\);
Пусть \(u=x-3\) и \(t=y+2\), тогда:
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{u}{t}=4 \\ u^{2}+t^{2}=17\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=4t \\ u^{2}+t^{2}=17\end{array}\right.\);
\((4t)^{2}+t^{2}=17\);
\(16t^{2}+t^{2}=17\);
\(17t^{2}=17\);
\(t^{2}=1\);
\(t=\pm \sqrt{1}=\pm 1\);
\(u=4 \cdot(\pm 1)=\pm 4\);
Значение переменной \(x\):
\(x=u+3\);
\(x_{1}=-4+3=-1\);
\(x_{2}=+4+3=7\);
Значение переменной \(y\):
\(y=t-2\);
\(y_{1}=-1-2=-3\);
\(y_{2}=+1-2=-1\);
Ответ: \((-1 ;-3) ;(7 ;-1)\).
а) \(\left\{\begin{array}{l}(2x+y)(x+3y)=48 \\ \frac{2x+y}{x+3y}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\);
1. Пусть \(u=2x+y\) и \(t=x+3y\). Тогда система примет вид:
\(\left\{\begin{array}{l}ut=48 \\ \frac{u}{t}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\).
2. Из второго уравнения выразим \(u\):
\(u=\frac{3t}{4}\).
3. Подставим \(u=\frac{3t}{4}\) в первое уравнение:
\(\frac{3t}{4} \cdot t=48\).
4. Упростим уравнение:
\(\frac{3t^{2}}{4}=48 \quad | \cdot \frac{4}{3}\).
\(t^{2}=64\).
5. Найдем значения \(t\):
\(t=\pm \sqrt{64}=\pm 8\).
6. Найдем соответствующие значения \(u\):
\(u=\frac{3 \cdot (\pm 8)}{4}=\pm \frac{24}{4}=\pm 6\).
7. Первая пара значений для \(u\) и \(t\):
\(\left\{\begin{array}{l}u=2x+y=-6 \\ t=x+3y=-8\end{array}\right.\).
8. Выразим \(y\) из первого уравнения:
\(y=-2x-6\).
9. Подставим \(y=-2x-6\) во второе уравнение:
\(x+3(-2x-6)=-8\).
\(x-6x-18=-8\).
\(-5x=10\).
\(x=-2\).
10. Найдем \(y\):
\(y=-2 \cdot (-2)-6=4-6=-2\).
11. Вторая пара значений для \(u\) и \(t\):
\(\left\{\begin{array}{l}u=2x+y=6 \\ t=x+3y=8\end{array}\right.\).
12. Выразим \(y\) из первого уравнения:
\(y=6-2x\).
13. Подставим \(y=6-2x\) во второе уравнение:
\(x+3(6-2x)=8\).
\(x+18-6x=8\).
\(-5x=-10\).
\(x=2\).
14. Найдем \(y\):
\(y=6-2 \cdot 2=6-4=2\).
Ответ: \((-2 ;-2) ;(2 ; 2)\).
б) \(\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{y+2}=4 \\ (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=17\end{array}\right.\);
1. Пусть \(u=x-3\) и \(t=y+2\). Тогда система примет вид:
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{u}{t}=4 \\ u^{2}+t^{2}=17\end{array}\right.\).
2. Из первого уравнения выразим \(u\):
\(u=4t\).
3. Подставим \(u=4t\) во второе уравнение:
\((4t)^{2}+t^{2}=17\).
4. Упростим уравнение:
\(16t^{2}+t^{2}=17\).
\(17t^{2}=17\).
\(t^{2}=1\).
5. Найдем значения \(t\):
\(t=\pm \sqrt{1}=\pm 1\).
6. Найдем соответствующие значения \(u\):
\(u=4 \cdot (\pm 1)=\pm 4\).
7. Найдем значения переменной \(x\):
\(x=u+3\).
\(x_{1}=-4+3=-1\).
\(x_{2}=+4+3=7\).
8. Найдем значения переменной \(y\):
\(y=t-2\).
\(y_{1}=-1-2=-3\).
\(y_{2}=+1-2=-1\).
Ответ: \((-1 ;-3) ;(7 ;-1)\).
