Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\begin{cases} \sqrt{x — y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x — y = 4 \end{cases}\)
б) \(\begin{cases} 6x + 2y = 10 \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x — 3y} = 2 \end{cases}\)
Решить систему уравнений:
а) \(\begin{cases} \sqrt{x — y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x — y = 4 \end{cases}\)
Из второго уравнения:
\(y = 2x — 4;\)
Из первого уравнения:
\(\sqrt{x — (2x — 4)} + \sqrt{x + 3(2x — 4)} = 4;\)
\(\sqrt{x — 2x + 4} + \sqrt{x + 6x — 12} = 4;\)
\(\sqrt{4 — x} + \sqrt{7x — 12} = 4;\)
\((4 — x) + 2\sqrt{(4 — x)(7x — 12)} + (7x — 12) = 16;\)
\(2\sqrt{28x — 48 — 7x^2 + 12x} = 24 — 6x;\)
\(\sqrt{-7x^2 + 40x — 48} = 12 — 3x;\)
\(-7x^2 + 40x — 48 = 144 — 72x + 9x^2;\)
\(16x^2 — 112x + 192 = 0;\)
\(x^2 — 7x + 12 = 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1,\) тогда:
\(x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3\) и \(x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;\)
Выполним проверку:
\(\sqrt{4 — 3} + \sqrt{7 \cdot 3 — 12} — 4 = \sqrt{1} + \sqrt{9} — 4 = 0;\)
\(\sqrt{4 — 4} + \sqrt{7 \cdot 4 — 12} — 4 = \sqrt{0} + \sqrt{16} — 4 = 0;\)
Решения системы уравнений:
\(x_1 = 3\) и \(x_2 = 4;\)
\(y_1 = 2 \cdot 3 — 4 = 6 — 4 = 2;\)
\(y_2 = 2 \cdot 4 — 4 = 8 — 4 = 4;\)
Ответ: \((3; 2); (4; 4).\)
б) \(\begin{cases} 6x + 2y = 10 \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x — 3y} = 2 \end{cases}\)
Из первого уравнения:
\(2y = 10 — 6x;\)
\(y = 5 — 3x;\)
Из второго уравнения:
\(\sqrt{2x + (5 — 3x)} + \sqrt{6x — 3(5 — 3x)} = 2;\)
\(\sqrt{2x + 5 — 3x} + \sqrt{6x — 15 + 9x} = 2;\)
\(\sqrt{5 — x} + \sqrt{15x — 15} = 2;\)
\((5 — x) + 2\sqrt{(5 — x)(15x — 15)} + (15x — 15) = 4;\)
\(2\sqrt{75x — 75 — 15x^2 + 15x} = 14 — 14x;\)
\(\sqrt{-15x^2 + 90x — 75} = 7 — 7x;\)
\(-15x^2 + 90x — 75 = 49 — 98 + 49x^2;\)
\(64x^2 — 90x + 26 = 0;\)
\(32x^2 — 45x + 13 = 0;\)
\(D = 45^2 — 4 \cdot 32 \cdot 13 = 2025 — 1664 = 361,\) тогда:
\(x_1 = \frac{45 — 19}{2 \cdot 32} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32};\)
\(x_2 = \frac{45 + 19}{2 \cdot 32} = \frac{64}{64} = 1;\)
Выполним проверку:
\(15 — 15 \cdot \frac{13}{32} = -15 \cdot \frac{19}{32} < 0;\)
\(\sqrt{5 — 1} + \sqrt{15 \cdot 1 — 15} — 2 = \sqrt{4} + \sqrt{0} — 2 = 0;\)
Решения системы уравнений:
\(x = 1;\)
\(y = 5 — 3 \cdot 1 = 2;\)
Ответ: \((1; 2).\)
а) \(\begin{cases} \sqrt{x — y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x — y = 4 \end{cases}\)
1. Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = 2x — 4.\)
2. Подставим \(y = 2x — 4\) в первое уравнение:
\(\sqrt{x — (2x — 4)} + \sqrt{x + 3(2x — 4)} = 4.\)
Раскроем скобки:
\(\sqrt{x — 2x + 4} + \sqrt{x + 6x — 12} = 4.\)
Упростим выражения под знаком корня:
\(\sqrt{4 — x} + \sqrt{7x — 12} = 4.\)
3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{4 — x} + \sqrt{7x — 12})^2 = 4^2.\)
Раскроем квадрат суммы:
\((4 — x) + 2\sqrt{(4 — x)(7x — 12)} + (7x — 12) = 16.\)
Сгруппируем похожие члены:
\(2\sqrt{(4 — x)(7x — 12)} = 16 — (4 — x) — (7x — 12).\)
Упростим правую часть:
\(2\sqrt{28x — 48 — 7x^2 + 12x} = 24 — 6x.\)
4. Разделим обе части на 2:
\(\sqrt{28x — 48 — 7x^2 + 12x} = 12 — 3x.\)
Возведем обе части в квадрат:
\(-7x^2 + 40x — 48 = 144 — 72x + 9x^2.\)
Перенесем все члены в одну сторону:
\(16x^2 — 112x + 192 = 0.\)
Разделим уравнение на 16:
\(x^2 — 7x + 12 = 0.\)
5. Найдем дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.\)
Найдем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3,\) \(x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4.\)
6. Найдем соответствующие значения \(y\):
Для \(x_1 = 3:\)
\(y_1 = 2 \cdot 3 — 4 = 6 — 4 = 2.\)
Для \(x_2 = 4:\)
\(y_2 = 2 \cdot 4 — 4 = 8 — 4 = 4.\)
7. Выполним проверку:
Для \((x_1, y_1) = (3, 2):\)
\(\sqrt{4 — 3} + \sqrt{7 \cdot 3 — 12} — 4 = \sqrt{1} + \sqrt{9} — 4 = 0.\)
Для \((x_2, y_2) = (4, 4):\)
\(\sqrt{4 — 4} + \sqrt{7 \cdot 4 — 12} — 4 = \sqrt{0} + \sqrt{16} — 4 = 0.\)
Ответ: \((3; 2); (4; 4).\)
б) \(\begin{cases} 6x + 2y = 10 \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x — 3y} = 2 \end{cases}\)
1. Из первого уравнения выразим \(y\):
\(2y = 10 — 6x.\)
\(y = 5 — 3x.\)
2. Подставим \(y = 5 — 3x\) во второе уравнение:
\(\sqrt{2x + (5 — 3x)} + \sqrt{6x — 3(5 — 3x)} = 2.\)
Раскроем скобки:
\(\sqrt{2x + 5 — 3x} + \sqrt{6x — 15 + 9x} = 2.\)
Упростим выражения под знаком корня:
\(\sqrt{5 — x} + \sqrt{15x — 15} = 2.\)
3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{5 — x} + \sqrt{15x — 15})^2 = 2^2.\)
Раскроем квадрат суммы:
\((5 — x) + 2\sqrt{(5 — x)(15x — 15)} + (15x — 15) = 4.\)
Сгруппируем похожие члены:
\(2\sqrt{(5 — x)(15x — 15)} = 4 — (5 — x) — (15x — 15).\)
Упростим правую часть:
\(2\sqrt{75x — 75 — 15x^2 + 15x} = 14 — 14x.\)
4. Разделим обе части на 2:
\(\sqrt{-15x^2 + 90x — 75} = 7 — 7x.\)
Возведем обе части в квадрат:
\(-15x^2 + 90x — 75 = 49 — 98 + 49x^2.\)
Перенесем все члены в одну сторону:
\(64x^2 — 90x + 26 = 0.\)
Разделим уравнение на 2:
\(32x^2 — 45x + 13 = 0.\)
5. Найдем дискриминант:
\(D = 45^2 — 4 \cdot 32 \cdot 13 = 2025 — 1664 = 361.\)
Найдем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{45 — 19}{2 \cdot 32} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32},\)
\(x_2 = \frac{45 + 19}{2 \cdot 32} = \frac{64}{64} = 1.\)
6. Найдем соответствующее значение \(y\):
Для \(x_2 = 1:\)
\(y = 5 — 3 \cdot 1 = 2.\)
7. Выполним проверку:
Для \((x_2, y) = (1, 2):\)
\(\sqrt{5 — 1} + \sqrt{15 \cdot 1 — 15} — 2 = \sqrt{4} + \sqrt{0} — 2 = 0.\)
Ответ: \((1; 2).\)
