Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} \sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4; \end{cases} \)
Решить систему уравнений:
а) \( \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} \)
Из второго уравнения:
\( y = \frac{216}{x}; \)
\( \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{\frac{216}{x}} = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}; \)
Из первого уравнения:
\( \sqrt[3]{x} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} = 5; \)
Пусть \( u = \sqrt[3]{x} \), тогда:
\( u + \frac{6}{u} = 5 \quad | \cdot u; \)
\( u^2 + 6 = 5u; \)
\( u^2 — 5u + 6 = 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:} \)
\( u_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)
Первое значение:
\( \sqrt[3]{x} = 2; \)
\( x = 2^3 = 8; \)
\( y = \frac{216}{8} = 27; \)
Второе значение:
\( \sqrt[3]{x} = 3; \)
\( x = 3^3 = 27; \)
\( y = \frac{216}{27} = 8; \)
Ответ: \( (8; 27); (27; 8) \).
б) \( \begin{cases} \sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4; \end{cases} \)
Из второго уравнения:
\( xy = 16; \)
\( y = \frac{16}{x}; \)
\( \sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{\frac{16}{x}} = \frac{2}{\sqrt[4]{x}}; \)
Из первого уравнения:
\( \sqrt[4]{x} — \frac{2}{\sqrt[4]{x}} = 1; \)
Пусть \( u = \sqrt[4]{x} \), тогда:
\( u — \frac{2}{u} = 1 \quad | \cdot u; \)
\( u^2 — 2 = u; \)
\( u^2 — u — 2 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:} \)
\( u_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Первое значение:
\( \sqrt[4]{x} = -1; \)
\( x \in ø; \)
Второе значение:
\( \sqrt[4]{x} = 2; \)
\( x = 2^4 = 16; \)
\( y = \frac{16}{16} = 1; \)
Ответ: \( (16; 1) \).
а) \( \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 5, \\ xy = 216; \end{cases} \)
Шаг 1.Выразим \( y \) из второго уравнения:
\( y = \frac{216}{x}; \)
Шаг 2. Найдем \( \sqrt[3]{y} \):
\( \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{\frac{216}{x}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{6}{\sqrt[3]{x}}; \)
Шаг 3. Подставим значение \( \sqrt[3]{y} \) в первое уравнение:
\( \sqrt[3]{x} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}} = 5; \)
Шаг 4. Введем замену \( u = \sqrt[3]{x} \). Тогда уравнение примет вид:
\( u + \frac{6}{u} = 5; \)
Шаг 5. Умножим обе части уравнения на \( u \):
\( u \cdot u + u \cdot \frac{6}{u} = 5 \cdot u; \)
\( u^2 + 6 = 5u; \)
Шаг 6. Приведем уравнение к стандартному виду:
\( u^2 — 5u + 6 = 0; \)
Шаг 7. Найдем дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1; \)
Шаг 8. Найдем корни квадратного уравнения:
\( u_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = 2; \)
\( u_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3; \)
Шаг 9. Рассмотрим первый корень \( u_1 = 2 \):
\( \sqrt[3]{x} = 2; \)
\( x = 2^3 = 8; \)
\( y = \frac{216}{x} = \frac{216}{8} = 27; \)
Шаг 10. Рассмотрим второй корень \( u_2 = 3 \):
\( \sqrt[3]{x} = 3; \)
\( x = 3^3 = 27; \)
\( y = \frac{216}{x} = \frac{216}{27} = 8; \)
Ответ: \( (8; 27); (27; 8) \).
б) \( \begin{cases} \sqrt[4]{x} — \sqrt[4]{y} = 1, \\ \sqrt{xy} = 4; \end{cases} \)
Шаг 1. Выразим \( y \) из второго уравнения:
\( xy = 16; \)
\( y = \frac{16}{x}; \)
Шаг 2. Найдем \( \sqrt[4]{y} \):
\( \sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{\frac{16}{x}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{x}} = \frac{2}{\sqrt[4]{x}}; \)
Шаг 3. Подставим значение \( \sqrt[4]{y} \) в первое уравнение:
\( \sqrt[4]{x} — \frac{2}{\sqrt[4]{x}} = 1; \)
Шаг 4. Введем замену \( u = \sqrt[4]{x} \). Тогда уравнение примет вид:
\( u — \frac{2}{u} = 1; \)
Шаг 5. Умножим обе части уравнения на \( u \):
\( u \cdot u — u \cdot \frac{2}{u} = 1 \cdot u; \)
\( u^2 — 2 = u; \)
Шаг 6.Приведем уравнение к стандартному виду:
\( u^2 — u — 2 = 0; \)
Шаг 7. Найдем дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \)
Шаг 8. Найдем корни квадратного уравнения:
\( u_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1; \)
\( u_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2; \)
Шаг 9. Рассмотрим первый корень \( u_1 = -1 \):
\( \sqrt[4]{x} = -1; \)
\( x \in ø; \)
Шаг 10. Рассмотрим второй корень \( u_2 = 2 \):
\( \sqrt[4]{x} = 2; \)
\( x = 2^4 = 16; \)
\( y = \frac{16}{x} = \frac{16}{16} = 1; \)
Ответ: \( (16; 1) \).
