ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}+2=3 \sqrt{\frac{y+5}{x+3y}} \\ x y+2 x=13-4 y\end{array}\right.\)

б) \(\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4x-y^{2}-3y=0 \\ \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}+3 \sqrt{\frac{x-y}{x+y}}=4\end{array}\right.\)

Решение системы уравнений

а) \(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}+2=3 \sqrt{\frac{y+5}{x+3y}} \\ x y+2 x=13-4 y\end{array}\right.\)

Пусть \(u=\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}\), тогда:

\(u+2=\frac{3}{u} \quad | \cdot u;\)

\(u^{2}+2u=3;\)

\(u^{2}+2u-3=0;\)

\(D=2^{2}+4 \cdot 3=4+12=16\), тогда:

\(u_{1}=\frac{-2-4}{2}=-3<0\) и \(u_{2}=\frac{-2+4}{2}=1;\)

Вернем замену:

\(\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}=1;\)

\(x+3y=y+5;\)

\(x=5-2y;\)

Из второго уравнения:

\(y(5-2y)+2(5-2y)=13-4y;\)

\(5y-2y^{2}+10-4y=13-4y;\)

\(2y^{2}-5y+3=0;\)

\(D=5^{2}-4 \cdot 2 \cdot 3=25-24=1\), тогда:

\(y_{1}=\frac{5-1}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1\) и \(y_{2}=\frac{5+1}{2 \cdot 2}=\frac{6}{4}=1,5;\)

\(x_{1}=5-2 \cdot 1=3\) и \(x_{2}=5-2 \cdot 1,5=2;\)

Ответ: \((3; 1); (2; 1,5)\).

б) \(\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4x-y^{2}-3y=0 \\ \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}+3 \sqrt{\frac{x-y}{x+y}}=4\end{array}\right.\)

Пусть \(u=\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\), тогда:

\(u+\frac{3}{u}=4 \quad | \cdot u;\)

\(u^{2}+3=4u;\)

\(u^{2}-4u+3=0;\)

\(D=4^{2}-4 \cdot 3=16-12=4\), тогда:

\(u_{1}=\frac{4-2}{2}=1\) и \(u_{2}=\frac{4+2}{2}=3;\)

Первое значение:

\(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=1;\)

\(x+y=x-y;\)

\(2y=0;\)

\(y=0;\)

Из первого уравнения:

\(x^{2}+4x-0^{2}-3 \cdot 0=0;\)

\((x+4)x=0;\)

\(x_{1}=-4\) и \(x_{2}=0;\)

Второе значение:

\(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}=3;\)

\(x+y=9(x-y);\)

\(x+y=9x-9y;\)

\(10y=8x;\)

\(y=\frac{4x}{5};\)

Из первого уравнения:

\(x^{2}+4x-\left(\frac{4x}{5}\right)^{2}-3 \cdot\left(\frac{4x}{5}\right)=0;\)

\(x^{2}+4x-\frac{16x^{2}}{25}-\frac{12x}{5}=0;\)

\(\frac{9x^{2}}{25}+\frac{8x}{5}=0 \quad | \cdot 25;\)

\(9x^{2}+40x=0;\)

\((9x+40)x=0;\)

\(x_{1}=-\frac{40}{9}\) и \(x_{2}=0;\)

\(y_{1}=\frac{4}{5} \cdot\left(-\frac{40}{9}\right)=-\frac{32}{9};\)

\(y_{2}=\frac{4 \cdot 0}{5}=0;\)

Выражение имеет смысл при:

\(\left\{\begin{array}{l}x-y \neq 0 \\ x+y \neq 0\end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}y \neq x \\ y \neq -x\end{array}\right.;\)

Ответ: \((-4; 0);\left(-\frac{40}{9};-\frac{32}{9}\right).\)

а) Решение системы

Дана система уравнений:
\(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}+2=3 \sqrt{\frac{y+5}{x+3y}} \\ xy+2x=13-4y\end{array}\right.\)

Пусть \(u = \sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}\). Тогда первое уравнение преобразуется:

\(u + 2 = \frac{3}{u} \quad | \cdot u;\)

Умножим обе части на \(u\), чтобы избавиться от дроби:

\(u^{2} + 2u = 3;\)

Переносим все слагаемые в одну часть уравнения:

\(u^{2} + 2u — 3 = 0;\)

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

\(D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16;\)

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

\(u_{1} = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3;\)

\(u_{2} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1;\)

Поскольку \(u = \sqrt{\frac{x+3y}{y+5}}\), значение \(u = -3\) не подходит, так как корень не может быть отрицательным. Остается \(u = 1\).

Вернемся к замене:

\(\sqrt{\frac{x+3y}{y+5}} = 1;\)

Возведем обе части в квадрат:

\(\frac{x+3y}{y+5} = 1;\)

Умножим на \(y+5\), чтобы избавиться от дроби:

\(x + 3y = y + 5;\)

Перенесем \(y\) в левую часть:

\(x = 5 — 2y;\)

Подставим \(x = 5 — 2y\) во второе уравнение системы:

\(y(5 — 2y) + 2(5 — 2y) = 13 — 4y;\)

Раскроем скобки:

\(5y — 2y^{2} + 10 — 4y = 13 — 4y;\)

Упростим выражение:

\(2y^{2} — 5y + 3 = 0;\)

Найдем дискриминант:

\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1;\)

Найдем корни квадратного уравнения:

\(y_{1} = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 1}{4} = \frac{4}{4} = 1;\)

\(y_{2} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5;\)

Найдем \(x\) для каждого значения \(y\):

При \(y = 1\):

\(x = 5 — 2 \cdot 1 = 3;\)

При \(y = 1,5\):

\(x = 5 — 2 \cdot 1,5 = 2;\)

Ответ: \((3; 1); (2; 1,5)\).

б) Решение системы

Дана система уравнений:
\(\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4x-y^{2}-3y=0 \\ \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}+3 \sqrt{\frac{x-y}{x+y}}=4\end{array}\right.\)

Пусть \(u = \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}\). Тогда второе уравнение преобразуется:

\(u + \frac{3}{u} = 4 \quad | \cdot u;\)

Умножим обе части на \(u\), чтобы избавиться от дроби:

\(u^{2} + 3 = 4u;\)

Переносим все слагаемые в одну часть уравнения:

\(u^{2} — 4u + 3 = 0;\)

Найдем дискриминант:

\(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4;\)

Найдем корни квадратного уравнения:

\(u_{1} = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1;\)

\(u_{2} = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3;\)

Рассмотрим оба случая:

1. При \(u = 1\):

\(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = 1;\)

Возведем обе части в квадрат:

\(\frac{x+y}{x-y} = 1;\)

Умножим на \(x-y\):

\(x + y = x — y;\)

\(2y = 0;\)

\(y = 0;\)

Подставим \(y = 0\) в первое уравнение:

\(x^{2} + 4x — 0^{2} — 3 \cdot 0 = 0;\)

\(x^{2} + 4x = 0;\)

Раскроем скобки:

\(x(x+4) = 0;\)

\(x_{1} = -4;\)

\(x_{2} = 0;\)

2. При \(u = 3\):

\(\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = 3;\)

Возведем обе части в квадрат:

\(\frac{x+y}{x-y} = 9;\)

Умножим на \(x-y\):

\(x + y = 9(x — y);\)

Раскроем скобки:

\(x + y = 9x — 9y;\)

\(10y = 8x;\)

\(y = \frac{4x}{5};\)

Подставим \(y = \frac{4x}{5}\) в первое уравнение:

\(x^{2} + 4x — \left(\frac{4x}{5}\right)^{2} — 3 \cdot \frac{4x}{5} = 0;\)

Раскроем скобки:

\(x^{2} + 4x — \frac{16x^{2}}{25} — \frac{12x}{5} = 0;\)

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{9x^{2}}{25} + \frac{8x}{5} = 0 \quad | \cdot 25;\)

\(9x^{2} + 40x = 0;\)

\(x(9x + 40) = 0;\)

\(x_{1} = -\frac{40}{9};\)

\(x_{2} = 0;\)

Найдем \(y\) для каждого значения \(x\):

При \(x = -\frac{40}{9}\):

\(y = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{40}{9}\right) = -\frac{32}{9};\)

При \(x = 0\):

\(y = \frac{4 \cdot 0}{5} = 0;\)

Проверим области допустимых значений:

\(\left\{\begin{array}{l}x — y \neq 0 \\ x + y \neq 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y \neq x \\ y \neq -x\end{array}\right.;\)

Ответ: \((-4; 0); \left(-\frac{40}{9}; -\frac{32}{9}\right).\)