Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \left\{\begin{array}{l}2^{x} \cdot 0,25^{-y}=512 \\ \sqrt{x}+2 \sqrt{y}=5\end{array}\right. \)
б) \( \left\{\begin{array}{l}9^{x} \cdot 3^{y-3}=729 \\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1\end{array}\right. \)
Решение системы уравнений
а) \( \left\{\begin{array}{l}2^{x} \cdot 0,25^{-y}=512 \\ \sqrt{x}+2 \sqrt{y}=5\end{array}\right. \)
Из первого уравнения:
\( 2^{x} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{-y}=2^{9} \);
\( 2^{x} \cdot\left(2^{-2}\right)^{-y}=2^{9} \);
\( 2^{x} \cdot 2^{2y}=2^{9} \);
\( 2^{x+2y}=2^{9} \);
\( x+2y=9 \);
\( x=9-2y \);
Из второго уравнения:
\( \sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5 \);
Возведем обе части в квадрат:
\( (9-2y)+4\sqrt{(9-2y)y}+4y=25 \);
\( 4\sqrt{9y-2y^{2}}=16-2y \);
Возведем обе части в квадрат:
\( 16\left(9y-2y^{2}\right)=(16-2y)^{2} \);
Раскроем скобки:
\( 144y-32y^{2}=256-64y+4y^{2} \);
Упростим выражение:
\( 36y^{2}-208y+256=0 \);
Разделим на \(4\):
\( 9y^{2}-52y+64=0 \);
Найдем дискриминант:
\( D=52^{2}-4 \cdot 9 \cdot 64=2704-2304=400 \);
Найдем корни:
\( y_{1}=\frac{52-20}{2 \cdot 9}=\frac{32}{18}=\frac{16}{9} \);
\( y_{2}=\frac{52+20}{2 \cdot 9}=\frac{72}{18}=4 \);
Выполним проверку:
\( \sqrt{9-2 \cdot \frac{16}{9}}+2\sqrt{\frac{16}{9}}-5=\sqrt{\frac{49}{9}}+2 \cdot \frac{4}{3}-5=0 \);
\( \sqrt{9-2 \cdot 4}+2\sqrt{4}-5=\sqrt{1}+2 \cdot 2-5=0 \);
Решения системы уравнений:
\( y_{1}=\frac{16}{9} \) и \( y_{2}=4 \);
\( x_{1}=9-2 \cdot \frac{16}{9}=\frac{81}{9}-\frac{32}{9}=\frac{49}{9} \);
\( x_{2}=9-2 \cdot 4=9-8=1 \);
Ответ: \( \left(\frac{49}{9} ; \frac{16}{9}\right) ;(1 ; 4) \).
б) \( \left\{\begin{array}{l}9^{x} \cdot 3^{y-3}=729 \\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1\end{array}\right. \)
Из первого уравнения:
\( 9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}(y-3)}=9^{3} \);
\( 9^{x+\frac{1}{2}(y-3)}=9^{3} \);
\( x+\frac{1}{2}(y-3)=3 \);
Умножим на \(2\):
\( 2x+y-3=6 \);
\( y=9-2x \);
Из второго уравнения:
\( \sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1 \);
\( \sqrt{x}=1+\sqrt{9-2x} \);
Возведем обе части в квадрат:
\( x=1+2\sqrt{9-2x}+(9-2x) \);
Перенесем всё в одну часть:
\( 3x-10=2\sqrt{9-2x} \);
Возведем обе части в квадрат:
\( (3x-10)^{2}=4(9-2x) \);
Раскроем скобки:
\( 9x^{2}-60x+100=36-8x \);
Упростим выражение:
\( 9x^{2}-52x+64=0 \);
Найдем дискриминант:
\( D=52^{2}-4 \cdot 9 \cdot 64=2704-2304=400 \);
Найдем корни:
\( x_{1}=\frac{52-20}{2 \cdot 9}=\frac{32}{18}=\frac{16}{9} \);
\( x_{2}=\frac{52+20}{2 \cdot 9}=\frac{72}{18}=4 \);
Выполним проверку:
\( \sqrt{\frac{16}{9}}-\sqrt{9-2 \cdot \frac{16}{9}}-1=\frac{4}{3}-\sqrt{\frac{49}{9}}-1=-2 \);
\( \sqrt{4}-\sqrt{9-2 \cdot 4}-1=2-1-1=0 \);
Решения системы уравнений:
\( x=4 \);
\( y=9-2 \cdot 4=9-8=1 \);
Ответ: \( (4; 1) \).
а) Решение
Дана система уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l}2^{x} \cdot 0,25^{-y}=512 \\ \sqrt{x}+2 \sqrt{y}=5\end{array}\right. \)
Начнем с первого уравнения:
\( 2^{x} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{-y} = 512 \).
Представим \( \frac{1}{4} \) как \( 2^{-2} \):
\( 2^{x} \cdot \left(2^{-2}\right)^{-y} = 512 \).
Упростим выражение:
\( 2^{x} \cdot 2^{2y} = 512 \).
Объединим степени:
\( 2^{x + 2y} = 512 \).
Представим \( 512 \) как \( 2^{9} \):
\( x + 2y = 9 \).
Выразим \( x \) через \( y \):
\( x = 9 — 2y \).
Перейдем ко второму уравнению:
\( \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5 \).
Подставим \( x = 9 — 2y \):
\( \sqrt{9 — 2y} + 2\sqrt{y} = 5 \).
Возведем обе части в квадрат:
\( (9 — 2y) + 4\sqrt{(9 — 2y)y} + 4y = 25 \).
Перенесем \( 9 — 2y + 4y \) в одну часть:
\( 4\sqrt{9y — 2y^{2}} = 16 — 2y \).
Возведем обе части в квадрат:
\( 16 \cdot (9y — 2y^{2}) = (16 — 2y)^{2} \).
Раскроем скобки:
\( 144y — 32y^{2} = 256 — 64y + 4y^{2} \).
Преобразуем уравнение:
\( 36y^{2} — 208y + 256 = 0 \).
Разделим на \( 4 \), чтобы упростить:
\( 9y^{2} — 52y + 64 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = 52^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 64 = 2704 — 2304 = 400 \).
Найдем корни:
\( y_{1} = \frac{52 — 20}{2 \cdot 9} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9} \).
\( y_{2} = \frac{52 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4 \).
Найдем \( x \) для каждого значения \( y \):
При \( y = \frac{16}{9} \):
\( x = 9 — 2 \cdot \frac{16}{9} = \frac{81}{9} — \frac{32}{9} = \frac{49}{9} \).
При \( y = 4 \):
\( x = 9 — 2 \cdot 4 = 9 — 8 = 1 \).
Выполним проверку:
\( \sqrt{9 — 2 \cdot \frac{16}{9}} + 2\sqrt{\frac{16}{9}} — 5 = \sqrt{\frac{49}{9}} + 2 \cdot \frac{4}{3} — 5 = 0 \).
\( \sqrt{9 — 2 \cdot 4} + 2\sqrt{4} — 5 = \sqrt{1} + 2 \cdot 2 — 5 = 0 \).
Решения системы уравнений:
\( \left(\frac{49}{9}; \frac{16}{9}\right) \) и \( (1; 4) \).
б) Решение
Дана система уравнений:
\( \left\{\begin{array}{l}9^{x} \cdot 3^{y-3}=729 \\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1\end{array}\right. \)
Начнем с первого уравнения:
\( 9^{x} \cdot 3^{y-3} = 729 \).
Представим \( 729 \) как \( 9^{3} \):
\( 9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}(y-3)} = 9^{3} \).
Объединим степени:
\( 9^{x + \frac{1}{2}(y-3)} = 9^{3} \).
Упростим:
\( x + \frac{1}{2}(y-3) = 3 \).
Умножим на \( 2 \):
\( 2x + y — 3 = 6 \).
\( y = 9 — 2x \).
Перейдем ко второму уравнению:
\( \sqrt{x} — \sqrt{y} = 1 \).
Подставим \( y = 9 — 2x \):
\( \sqrt{x} — \sqrt{9 — 2x} = 1 \).
Выразим \( \sqrt{x} \):
\( \sqrt{x} = 1 + \sqrt{9 — 2x} \).
Возведем обе части в квадрат:
\( x = 1 + 2\sqrt{9 — 2x} + (9 — 2x) \).
Перенесем всё в одну часть:
\( 3x — 10 = 2\sqrt{9 — 2x} \).
Возведем обе части в квадрат:
\( (3x — 10)^{2} = 4(9 — 2x) \).
Раскроем скобки:
\( 9x^{2} — 60x + 100 = 36 — 8x \).
Упростим выражение:
\( 9x^{2} — 52x + 64 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = 52^{2} — 4 \cdot 9 \cdot 64 = 2704 — 2304 = 400 \).
Найдем корни:
\( x_{1} = \frac{52 — 20}{2 \cdot 9} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9} \).
\( x_{2} = \frac{52 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{72}{18} = 4 \).
Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
При \( x = \frac{16}{9} \):
\( y = 9 — 2 \cdot \frac{16}{9} = \frac{81}{9} — \frac{32}{9} = \frac{49}{9} \).
При \( x = 4 \):
\( y = 9 — 2 \cdot 4 = 9 — 8 = 1 \).
Выполним проверку:
\( \sqrt{\frac{16}{9}} — \sqrt{9 — 2 \cdot \frac{16}{9}} — 1 = \frac{4}{3} — \sqrt{\frac{49}{9}} — 1 = -2 \).
\( \sqrt{4} — \sqrt{9 — 2 \cdot 4} — 1 = 2 — 1 — 1 = 0 \).
Решения системы уравнений:
\( (4; 1) \).
