ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6 \end{cases} \)

б) \( \begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x — y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1} \end{cases} \)

Решить систему уравнений методом подстановки:

а) \( \begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6 \end{cases} \);

Из первого уравнения:
\( y = 3x — 1 \);

Из второго уравнения:
\( 7^{(3x-1)-2x+2} = 7^{(3x-1)-4x+1} + 6 \);
\( 7^{x+1} = 7^{-x} + 6 \);
\( 7 \cdot 7^x — 6 — 7^{-x} = 0 \quad | \cdot 7^x \);
\( 7 \cdot 7^{2x} — 6 \cdot 7^x — 1 = 0 \);

Пусть \( t = 7^x \), тогда:
\( 7t^2 — 6t — 1 = 0 \);
\( D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64 \), тогда:
\( t_1 = \frac{6 — 8}{2 \cdot 7} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7} \);
\( t_2 = \frac{6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 \);

Первое значение:
\( 7^x = -\frac{1}{7} \);
\( x \in ø \);

Второе значение:
\( 7^x = 1 \);
\( x = 0 \);
\( y = 3 \cdot 0 — 1 = -1 \);

Ответ: \( (0; -1) \).

б) \( \begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x — y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1} \end{cases} \);

Из второго уравнения:
\( \log_{\frac{1}{3}}(2y + 2y) + \log_{\frac{1}{3}}(2y — y + 1) = \log_3 1 — \log_3(y + 1) \);
\( \log_{\frac{1}{3}}(4y) + \log_{\frac{1}{3}}(y + 1) = -\log_{\frac{1}{3}}(y + 1) : \log_{\frac{1}{3}} 3 \);
\( \log_{\frac{1}{3}}(4y \cdot (y + 1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y + 1) \);
\( 4y(y + 1) = y + 1 \);
\( (4y — 1)(y + 1) = 0 \);
\( y_1 = \frac{1}{4} \) и \( y_2 = -1 \);

Выполним проверку:
\( 4 \cdot (-1) = -4 < 0 \);
\( \log_{\frac{1}{3}}\left(4 \cdot \frac{1}{4}\right) + \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{4} + 1\right) — \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{4} + 1\right) = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0 \);

Решения системы уравнений:
\( y = \frac{1}{4} \);
\( x = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \);

Ответ: \( \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) \).

а) Система уравнений:

\( \begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6 \end{cases} \)

Шаг 1: Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 3x — 1 \)

Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение:

\( 7^{(3x-1)-2x+2} = 7^{(3x-1)-4x+1} + 6 \)

Упростим выражения в показателях степеней:

\( 7^{x+1} = 7^{-x} + 6 \)

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на \( 7^x \), чтобы избавиться от отрицательной степени:

\( 7 \cdot 7^x — 6 — 7^{-x} = 0 \quad | \cdot 7^x \)

\( 7 \cdot 7^{2x} — 6 \cdot 7^x — 1 = 0 \)

Шаг 4: Введем замену \( t = 7^x \):

\( 7t^2 — 6t — 1 = 0 \)

Шаг 5: Найдем дискриминант:

\( D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64 \)

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения:

\( t_1 = \frac{6 — 8}{2 \cdot 7} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7} \)

\( t_2 = \frac{6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 \)

Шаг 7: Проверим оба значения:

• Если \( t_1 = -\frac{1}{7} \), то \( 7^x = -\frac{1}{7} \). Это невозможно, так как степень числа \( 7 \) не может быть отрицательной.
• Если \( t_2 = 1 \), то \( 7^x = 1 \). Отсюда \( x = 0 \).

Шаг 8: Найдем \( y \):

\( y = 3 \cdot 0 — 1 = -1 \)

Ответ: \( (0; -1) \)

б) Система уравнений:

\( \begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x — y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1} \end{cases} \)

Шаг 1: Подставим \( x = 2y \) во второе уравнение:

\( \log_{\frac{1}{3}}(2y + 2y) + \log_{\frac{1}{3}}(2y — y + 1) = \log_3 1 — \log_3(y + 1) \)

Упростим выражения:

\( \log_{\frac{1}{3}}(4y) + \log_{\frac{1}{3}}(y + 1) = -\log_{\frac{1}{3}}(y + 1) : \log_{\frac{1}{3}} 3 \)

\( \log_{\frac{1}{3}}(4y \cdot (y + 1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y + 1) \)

Шаг 2: Упростим выражение:

\( 4y(y + 1) = y + 1 \)

\( (4y — 1)(y + 1) = 0 \)

Шаг 3: Найдем корни:

• Если \( y + 1 = 0 \), то \( y = -1 \).
• Если \( 4y — 1 = 0 \), то \( y = \frac{1}{4} \).

Шаг 4: Проверим оба значения:

• Если \( y = -1 \), то \( 4 \cdot (-1) = -4 < 0 \). Значение не подходит.
• Если \( y = \frac{1}{4} \), то подставим в уравнение:

\( \log_{\frac{1}{3}}\left(4 \cdot \frac{1}{4}\right) + \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{4} + 1\right) — \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{4} + 1\right) = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0 \)

Шаг 5: Найдем \( x \):

\( x = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) \)