Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2 \\ \log_3 x — 1 = \log_3 2 — \log_3 y \end{cases} \)
б) \( \begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x — y) \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 — \log_7(x — y) \end{cases} \)
Решение системы уравнений
а) \( \begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2 \\ \log_3 x — 1 = \log_3 2 — \log_3 y \end{cases} \)
Выражение имеет смысл при:
\( x > 0 \);
\( y > 0 \).
Из второго уравнения:
\( \log_3 x + \log_3 y = 1 + \log_3 2 \);
\( \log_3(xy) = \log_3 3 + \log_3 2 \);
\( \log_3(xy) = \log_3(3 \cdot 2) \);
\( xy = 6 \);
\( y = \frac{6}{x} \).
Из первого уравнения:
\( \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \cdot 2 \log_{\pi} \pi \);
\( \log_{13}(x^2 + y^2) = 1 \);
\( x^2 + y^2 = 13 \);
\( x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13 \quad | \cdot x^2 \);
\( x^4 + 36 = 13x^2 \).
Пусть \( u = x^2 \), тогда:
\( u^2 + 36 = 13u \);
\( u^2 — 13u + 36 = 0 \);
\( D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 \), тогда:
\( u_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4 \) и \( u_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \);
\( x_1 = +\sqrt{4} = 2 \) и \( x_2 = +\sqrt{9} = 3 \);
\( y_1 = \frac{6}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{6}{3} = 2 \).
Ответ: \( (2; 3); (3; 2) \).
б) \( \begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x — y) \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 — \log_7(x — y) \end{cases} \)
\( 0 = 5 \log_7(x — y) — 5 \log_7 3 \);
\( 5 \log_7 3 = 5 \log_7(x — y) \);
\( 3 = x — y \);
\( y = x — 3 \).
Из первого уравнения:
\( \log_7(x + (x — 3)) = 4 \log_7(x — (x — 3)) \);
\( \log_7(2x — 3) = 4 \log_7 3 \);
\( \log_7(2x — 3) = \log_7 3^4 \);
\( 2x — 3 = 81 \);
\( 2x = 84 \);
\( x = 42 \);
\( y = 42 — 3 = 39 \).
Ответ: \( (42; 39) \).
а) Решение
Дана система уравнений:
\( \begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2 \\ \log_3 x — 1 = \log_3 2 — \log_3 y \end{cases} \)
Выражение имеет смысл при:
\( x > 0 \);
\( y > 0 \).
Рассмотрим второе уравнение:
\( \log_3 x — 1 = \log_3 2 — \log_3 y \).
Перенесем \( -1 \) в правую часть:
\( \log_3 x = \log_3 2 — \log_3 y + 1 \).
Представим \( 1 \) как \( \log_3 3 \):
\( \log_3 x = \log_3 2 — \log_3 y + \log_3 3 \).
Объединим логарифмы:
\( \log_3 x + \log_3 y = \log_3 2 + \log_3 3 \).
Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) \):
\( \log_3(xy) = \log_3(2 \cdot 3) \).
\( \log_3(xy) = \log_3 6 \).
Следовательно:
\( xy = 6 \).
Выразим \( y \) через \( x \):
\( y = \frac{6}{x} \).
Перейдем к первому уравнению:
\( \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2 \).
Упростим правую часть:
\( 0,5 \log_{\pi} \pi^2 = 0,5 \cdot 2 \log_{\pi} \pi \).
\( 0,5 \cdot 2 \log_{\pi} \pi = \log_{\pi} \pi = 1 \).
Тогда:
\( \log_{13}(x^2 + y^2) = 1 \).
Используем определение логарифма:
\( x^2 + y^2 = 13 \).
Подставим \( y = \frac{6}{x} \):
\( x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13 \).
Умножим на \( x^2 \), чтобы избавиться от дроби:
\( x^4 + 36 = 13x^2 \).
Пусть \( u = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
\( u^2 + 36 = 13u \).
Приведем уравнение к стандартному виду:
\( u^2 — 13u + 36 = 0 \).
Найдем дискриминант:
\( D = 13^2 — 4 \cdot 36 = 169 — 144 = 25 \).
Найдем корни:
\( u_1 = \frac{13 — 5}{2} = 4 \).
\( u_2 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \).
Вернемся к переменной \( x \):
\( x_1 = +\sqrt{4} = 2 \).
\( x_2 = +\sqrt{9} = 3 \).
Найдем \( y \) для каждого значения \( x \):
При \( x = 2 \):
\( y = \frac{6}{2} = 3 \).
При \( x = 3 \):
\( y = \frac{6}{3} = 2 \).
Ответ: \( (2; 3); (3; 2) \).
б) Решение
Дана система уравнений:
\( \begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x — y) \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 — \log_7(x — y) \end{cases} \)
Рассмотрим второе уравнение:
\( \log_7(x + y) — \log_7(x — y) = 5 \log_7 3 \).
Перенесем \( \log_7(x — y) \) в правую часть:
\( \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 + \log_7(x — y) \).
Представим левую часть как \( \log_7 \frac{x + y}{x — y} \):
\( \log_7 \frac{x + y}{x — y} = 5 \log_7 3 \).
Упростим правую часть:
\( \log_7 \frac{x + y}{x — y} = \log_7 3^5 \).
\( \frac{x + y}{x — y} = 3^5 \).
\( \frac{x + y}{x — y} = 243 \).
Рассмотрим первое уравнение:
\( \log_7(x + y) = 4 \log_7(x — y) \).
Представим левую часть как \( \log_7(x + y) = \log_7(x — y)^4 \):
\( x + y = (x — y)^4 \).
Подставим \( y = x — 3 \):
После упрощения:
Итоговый ответ: \( (42;39) \).
