ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \begin{cases} \sin x + \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} \);

б) \( \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} \)

Решить систему уравнений:

а) \( \begin{cases} \sin x + \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} \);

Пусть \( u = \sin x \) и \( t = \cos y \), тогда:

\( \begin{cases} u + t = 0 \\ u^2 + t^2 = 0,5 \end{cases} \mid \cdot 2 ⇒ \begin{cases} u = -t \\ 2u^2 + 2t^2 = 1 \end{cases} \);

\( 2(-t)^2 + 2t^2 = 1 \);

\( 2t^2 + 2t^2 = 1 \);

\( 4t^2 = 1 \);

\( t^2 = \frac{1}{4} \);

\( t = ± \sqrt{\frac{1}{4}} = ± \frac{1}{2} \);

\( u = -t = ∓ \frac{1}{2} \);

Первая пара значений:

\( \begin{cases} \sin x = -\frac{1}{2} \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} ⇒ \begin{cases} x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \\ y = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} \);

Вторая пара значений:

\( \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos y = -\frac{1}{2} \end{cases} ⇒ \begin{cases} x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \\ y = ± \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} \);

Ответ: \( \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right); \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; ± \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right) \).

б) \( \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} \);

Преобразуем второе уравнение:

\( (1 — \cos^2 x) + (1 — \cos^2 y) = 1,75 \);

\( 2 — 1,75 = \cos^2 x + \cos^2 y \);

\( \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \);

Пусть \( u = \cos x \) и \( t = \cos y \), тогда:

\( \begin{cases} u + t = 0,5 \\ u^2 + t^2 = 0,25 \end{cases} \mid \cdot 4 ⇒ \begin{cases} u = 0,5 — t \\ 4u^2 + 4t^2 = 1 \end{cases} \);

\( 4(0,5 — t)^2 + 4t^2 = 1 \);

\( 1 — 4t + 4t^2 + 4t^2 = 1 \);

\( 8t^2 — 4t = 0 \);

\( 2t^2 — t = 0 \);

\( t(2t — 1) = 0 \);

\( t_1 = 0 \) и \( t_2 = \frac{1}{2} \);

\( u_1 = 0,5 — 0 = \frac{1}{2} \);

\( u_2 = 0,5 — 0,5 = 0 \);

Первая пара значений:

\( \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos y = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases} x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ y = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases} \);

Вторая пара значений:

\( \begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} ⇒ \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ y = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases} \);

Ответ: \( \left( ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi k \right); \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) \).

а) \( \begin{cases} \sin x + \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} \);

Обозначим: \( u = \sin x \), \( t = \cos y \). Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} u + t = 0 \\ u^2 + t^2 = 0,5 \end{cases} \).

Умножим оба уравнения на \( 2 \):

\( \begin{cases} 2u + 2t = 0 \\ 2u^2 + 2t^2 = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases} u = -t \\ 2u^2 + 2t^2 = 1 \end{cases} \).

Подставим \( u = -t \) во второе уравнение:

\( 2(-t)^2 + 2t^2 = 1 \).

Раскроем скобки и упростим выражение:

\( 2t^2 + 2t^2 = 1 \).

Сложим подобные слагаемые:

\( 4t^2 = 1 \).

Разделим на \( 4 \):

\( t^2 = \frac{1}{4} \).

Возьмем квадратный корень из обеих частей:

\( t = ± \sqrt{\frac{1}{4}} = ± \frac{1}{2} \).

Теперь найдем \( u \):

\( u = -t = ∓ \frac{1}{2} \).

Рассмотрим первую пару значений:

\( \begin{cases} \sin x = -\frac{1}{2} \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} \).

Для первого уравнения \( \sin x = -\frac{1}{2} \):

\( x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Для второго уравнения \( \cos y = \frac{1}{2} \):

\( y = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим вторую пару значений:

\( \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos y = -\frac{1}{2} \end{cases} \).

Для первого уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \):

\( x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Для второго уравнения \( \cos y = -\frac{1}{2} \):

\( y = ± \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ к пункту а:

\( \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right); \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; ± \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right) \).

б) \( \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} \).

Преобразуем второе уравнение, используя \( \sin^2 x = 1 — \cos^2 x \):

\( (1 — \cos^2 x) + (1 — \cos^2 y) = 1,75 \).

Упростим выражение:

\( 2 — \cos^2 x — \cos^2 y = 1,75 \).

Вычтем \( 1,75 \) из \( 2 \):

\( \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \).

Обозначим \( u = \cos x \), \( t = \cos y \). Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} u + t = 0,5 \\ u^2 + t^2 = 0,25 \end{cases} \).

Умножим оба уравнения на \( 4 \):

\( \begin{cases} 4u + 4t = 2 \\ 4u^2 + 4t^2 = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases} u = 0,5 — t \\ 4u^2 + 4t^2 = 1 \end{cases} \).

Подставим \( u = 0,5 — t \) во второе уравнение:

\( 4(0,5 — t)^2 + 4t^2 = 1 \).

Раскроем скобки:

\( 4(0,25 — t + t^2) + 4t^2 = 1 \).

Упростим выражение:

\( 1 — 4t + 4t^2 + 4t^2 = 1 \).

Сложим подобные слагаемые:

\( 8t^2 — 4t = 0 \).

Вынесем \( t \) за скобки:

\( t(8t — 4) = 0 \).

Решим уравнение:

\( t_1 = 0 \), \( t_2 = \frac{1}{2} \).

Найдем соответствующие значения \( u \):

\( u_1 = 0,5 — 0 = \frac{1}{2} \).

\( u_2 = 0,5 — 0,5 = 0 \).

Рассмотрим первую пару значений:

\( \begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos y = 0 \end{cases} \).

Для первого уравнения \( \cos x = \frac{1}{2} \):

\( x = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Для второго уравнения \( \cos y = 0 \):

\( y = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим вторую пару значений:

\( \begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} \).

Для первого уравнения \( \cos x = 0 \):

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Для второго уравнения \( \cos y = \frac{1}{2} \):

\( y = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ к пункту б:

\( \left( ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi k \right); \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; ± \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) \).