Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:
а) \(
\begin{cases}
x + 2y — 3z = -3 \\
2x — 3y + z = 8 \\
-x + y — 5z = -8
\end{cases}
\)
б) \(
\begin{cases}
3x — 5y + z = -13 \\
x + 3y — 2z = 5 \\
2x — 2y + 5z = -6
\end{cases}
\)
Решить систему трех уравнений с тремя переменными:
а) \(
\begin{cases}
x + 2y — 3z = -3 \\
2x — 3y + z = 8 \\
-x + y — 5z = -8
\end{cases}
\)
Сложим почленно первое и третье уравнения:
\(
3y — 8z = -11;
\)
\(
3y = 8z — 11;
\)
\(
y = \frac{8z — 11}{3};
\)
Из третьего уравнения:
\(
x = y — 5z + 8 = \frac{8z — 11}{3} + \frac{24 — 15z}{3} = \frac{13 — 7z}{3};
\)
Из второго уравнения:
\(
2\frac{(13 — 7z)}{3} — \frac{3(8z — 11)}{3} + z = 8;
\)
\(
\frac{26 — 14z — 24z + 33}{3} = 8 — z;
\)
\(
59 — 38z = 3(8 — z);
\)
\(
59 — 38z = 24 — 3z;
\)
\(
35z = 35;
\)
\(
z = 1;
\)
\(
x = \frac{13 — 7 \cdot 1}{3} = \frac{6}{3} = 2;
\)
\(
y = \frac{8 \cdot 1 — 11}{3} = \frac{-3}{3} = -1;
\)
Ответ: \( (2; -1; 1) \).
б) \(
\begin{cases}
3x — 5y + z = -13 \\
x + 3y — 2z = 5 \\
2x — 2y + 5z = -6
\end{cases}
\)
Вычтем почленно второе и третье уравнение из первого:
\(
-6y — 4z = -12;
\)
\(
4z = 12 — 6y;
\)
\(
z = \frac{12 — 6y}{4} = \frac{6 — 3y}{2};
\)
Из второго уравнения:
\(
x = 2z — 3y + 5 = (6 — 3y) — 3y + 5 = 11 — 6y;
\)
Из третьего уравнения:
\(
2(11 — 6y) — 2y + \frac{5(6 — 3y)}{2} = -6;
\)
\(
22 — 12y — 2y + \frac{30 — 15y}{2} = -6;
\)
\(
\frac{30 — 15y}{2} = 14y — 28;
\)
\(
30 — 15y = 2(14y — 28);
\)
\(
30 — 15y = 28y — 56;
\)
\(
43y = 86;
\)
\(
y = 2;
\)
\(
x = 11 — 6 \cdot 2 = 11 — 12 = -1;
\)
\(
z = \frac{6 — 3 \cdot 2}{2} = \frac{6 — 6}{2} = 0;
\)
Ответ: \( (-1; 2; 0) \).
Решить систему трех уравнений с тремя переменными:
а) \(
\begin{cases}
x + 2y — 3z = -3 \\
2x — 3y + z = 8 \\
-x + y — 5z = -8
\end{cases}
\)
1. Сложим почленно первое и третье уравнения:
\(
(x + 2y — 3z) + (-x + y — 5z) = -3 + (-8);
\)
\(
x — x + 2y + y — 3z — 5z = -11;
\)
\(
3y — 8z = -11;
\)
2. Выразим \( y \):
\(
3y = 8z — 11;
\)
\(
y = \frac{8z — 11}{3};
\)
3. Из третьего уравнения выразим \( x \):
\(
-x + y — 5z = -8;
\)
\(
x = y — 5z + 8;
\)
Подставим \( y = \frac{8z — 11}{3} \):
\(
x = \frac{8z — 11}{3} — 5z + 8;
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
x = \frac{8z — 11}{3} + \frac{24 — 15z}{3};
\)
\(
x = \frac{13 — 7z}{3};
\)
4. Подставим \( x = \frac{13 — 7z}{3} \) и \( y = \frac{8z — 11}{3} \) во второе уравнение:
\(
2x — 3y + z = 8;
\)
\(
2\frac{13 — 7z}{3} — 3\frac{8z — 11}{3} + z = 8;
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{26 — 14z — 24z + 33}{3} + z = 8;
\)
\(
\frac{59 — 38z}{3} = 8 — z;
\)
Умножим на 3:
\(
59 — 38z = 3(8 — z);
\)
\(
59 — 38z = 24 — 3z;
\)
Приведем подобные:
\(
35z = 35;
\)
\(
z = 1;
\)
5. Найдем \( x \):
\(
x = \frac{13 — 7z}{3};
\)
\(
x = \frac{13 — 7 \cdot 1}{3} = \frac{6}{3} = 2;
\)
6. Найдем \( y \):
\(
y = \frac{8z — 11}{3};
\)
\(
y = \frac{8 \cdot 1 — 11}{3} = \frac{-3}{3} = -1;
\)
Ответ: \( (2; -1; 1) \).
б) \(
\begin{cases}
3x — 5y + z = -13 \\
x + 3y — 2z = 5 \\
2x — 2y + 5z = -6
\end{cases}
\)
1. Вычтем почленно второе и третье уравнение из первого:
\(
(3x — 5y + z) — (x + 3y — 2z) — (2x — 2y + 5z) = -13 — 5 — (-6);
\)
\(
3x — x — 2x — 5y — 3y + 2y + z — (-2z) — 5z = -12;
\)
\(
-6y — 4z = -12;
\)
2. Выразим \( z \):
\(
4z = 12 — 6y;
\)
\(
z = \frac{12 — 6y}{4} = \frac{6 — 3y}{2};
\)
3. Из второго уравнения выразим \( x \):
\(
x + 3y — 2z = 5;
\)
\(
x = 2z — 3y + 5;
\)
Подставим \( z = \frac{6 — 3y}{2} \):
\(
x = 2\frac{6 — 3y}{2} — 3y + 5;
\)
\(
x = (6 — 3y) — 3y + 5;
\)
\(
x = 11 — 6y;
\)
4. Подставим \( x = 11 — 6y \) и \( z = \frac{6 — 3y}{2} \) в третье уравнение:
\(
2x — 2y + 5z = -6;
\)
\(
2(11 — 6y) — 2y + 5\frac{6 — 3y}{2} = -6;
\)
\(
22 — 12y — 2y + \frac{30 — 15y}{2} = -6;
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
\frac{44 — 24y — 4y + 30 — 15y}{2} = -6;
\)
\(
\frac{74 — 43y}{2} = -6;
\)
Умножим на 2:
\(
74 — 43y = -12;
\)
\(
43y = 86;
\)
\(
y = 2;
\)
5. Найдем \( x \):
\(
x = 11 — 6y;
\)
\(
x = 11 — 6 \cdot 2 = -1;
\)
6. Найдем \( z \):
\(
z = \frac{6 — 3y}{2};
\)
\(
z = \frac{6 — 3 \cdot 2}{2} = 0;
\)
Ответ: \( (-1; 2; 0) \).
