Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \begin{cases} x + y = -1 \\ x — z = 2 \\ xy + xz + yz = -1 \end{cases} \);
б) \( \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5 \end{cases} \)
Решить систему трех уравнений с тремя переменными:
а) \( \begin{cases} x + y = -1 \\ x — z = 2 \\ xy + xz + yz = -1 \end{cases} \);
Из первого уравнения:
\( y = -1 — x; \)
Из второго уравнения:
\( z = x — 2; \)
Из третьего уравнения:
\( x(-1 — x) + x(x — 2) + (-1 — x)(x — 2) = -1; \)
\( -x — x^2 + x^2 — 2x — x + 2 — x^2 + 2x + 1 = 0; \)
\( -x^2 — 2x + 3 = 0; \)
\( x^2 + 2x — 3 = 0; \)
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:
\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)
\( y_1 = -1 + 3 = 2 \) и \( y_2 = -1 — 1 = -2; \)
\( z_1 = -3 — 2 = -5 \) и \( z_2 = 1 — 2 = -1; \)
Ответ: \((-3; 2; -5); (1; -2; -1).\)
б) \( \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5 \end{cases} \);
Из первого уравнения:
\( x = -y — 2z; \)
Из второго уравнения:
\( (-y — 2z) + 2y + z = 1; \)
\( y — z = 1; \)
\( y = 1 + z; \)
\( x = -(1 + z) — 2z = -1 — 3z; \)
Из третьего уравнения:
\( (-1 — 3z)^2 + (1 + z)^2 + z^2 = 5; \)
\( 1 + 6z + 9z^2 + 1 + 2z + z^2 + z^2 — 5 = 0; \)
\( 11z^2 + 8z — 3 = 0; \)
\( D = 8^2 + 4 \cdot 11 \cdot 3 = 64 + 132 = 196, \) тогда:
\( z_1 = \frac{-8 — 14}{2 \cdot 11} = -\frac{22}{22} = -1; \)
\( z_2 = \frac{-8 + 14}{2 \cdot 11} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}; \)
\( x_1 = -1 — 3 \cdot (-1) = 2; \)
\( x_2 = -1 — 3 \cdot \frac{3}{11} = -\frac{20}{11}; \)
\( y_1 = 1 + (-1) = 0; \)
\( y_2 = 1 + \frac{3}{11} = \frac{14}{11}; \)
Ответ: \((2; 0; -1); \left(-\frac{20}{11}; \frac{14}{11}; \frac{3}{11}\right).\)
а) \( \begin{cases} x + y = -1 \\ x — z = 2 \\ xy + xz + yz = -1 \end{cases} \);
Шаг 1. Выразим \( y \) из первого уравнения:
\( x + y = -1 \)
\( y = -1 — x \).
Шаг 2. Выразим \( z \) из второго уравнения:
\( x — z = 2 \)
\( z = x — 2 \).
Шаг 3. Подставим выражения для \( y \) и \( z \) в третье уравнение:
\( xy + xz + yz = -1 \)
Подставляем \( y = -1 — x \) и \( z = x — 2 \):
\( x(-1 — x) + x(x — 2) + (-1 — x)(x — 2) = -1 \).
Шаг 4. Раскроем скобки и упростим выражение:
Раскрываем первую часть:
\( x(-1 — x) = -x — x^2 \).
Раскрываем вторую часть:
\( x(x — 2) = x^2 — 2x \).
Раскрываем третью часть:
\( (-1 — x)(x — 2) = -x + 2 — x^2 + 2x = -x^2 + x + 2 \).
Суммируем все части:
\( -x — x^2 + x^2 — 2x — x + 2 — x^2 + x + 2 = -1 \).
Упрощаем:
\( -x^2 — 2x + 3 = -1 \).
Шаг 5. Перенесем \( -1 \) в левую часть:
\( -x^2 — 2x + 3 + 1 = 0 \)
\( -x^2 — 2x + 4 = 0 \).
Домножим на \( -1 \), чтобы избавиться от минуса перед \( x^2 \):
\( x^2 + 2x — 4 = 0 \).
Шаг 6. Решим квадратное уравнение:
Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \).
Дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \),
\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \).
Шаг 7. Найдем значения \( y \) и \( z \) для каждого корня \( x \):
Для \( x_1 = -3 \):
\( y = -1 — x = -1 + 3 = 2 \),
\( z = x — 2 = -3 — 2 = -5 \).
Для \( x_2 = 1 \):
\( y = -1 — x = -1 — 1 = -2 \),
\( z = x — 2 = 1 — 2 = -1 \).
Ответ:
\((-3; 2; -5)\) и \((1; -2; -1)\).
б) \( \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + 2y + z = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5 \end{cases} \);
Шаг 1. Выразим \( x \) из первого уравнения:
\( x + y + 2z = 0 \)
\( x = -y — 2z \).
Шаг 2. Подставим \( x \) в второе уравнение:
\( (-y — 2z) + 2y + z = 1 \).
Раскроем скобки:
\( -y — 2z + 2y + z = 1 \).
Упростим:
\( y — z = 1 \).
Выразим \( y \):
\( y = 1 + z \).
Шаг 3. Подставим \( x \) и \( y \) в третье уравнение:
\( x^2 + y^2 + z^2 = 5 \).
Подставляем \( x = -1 — 3z \) и \( y = 1 + z \):
\( (-1 — 3z)^2 + (1 + z)^2 + z^2 = 5 \).
Шаг 4. Раскроем скобки и упростим выражение:
Раскрываем первую часть:
\( (-1 — 3z)^2 = 1 + 6z + 9z^2 \).
Раскрываем вторую часть:
\( (1 + z)^2 = 1 + 2z + z^2 \).
Третья часть остается:
\( z^2 \).
Суммируем все части:
\( 1 + 6z + 9z^2 + 1 + 2z + z^2 + z^2 = 5 \).
Упрощаем:
\( 11z^2 + 8z + 2 = 5 \).
Переносим \( 5 \) в левую часть:
\( 11z^2 + 8z — 3 = 0 \).
Шаг 5. Решим квадратное уравнение:
Коэффициенты: \( a = 11 \), \( b = 8 \), \( c = -3 \).
Дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 \cdot 11 \cdot (-3) = 64 + 132 = 196 \).
Корни:
\( z_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 — 14}{22} = -1 \),
\( z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 14}{22} = \frac{3}{11} \).
Шаг 6. Найдем значения \( x \) и \( y \) для каждого корня \( z \):
Для \( z_1 = -1 \):
\( x = -1 — 3z = -1 — 3 \cdot (-1) = 2 \),
\( y = 1 + z = 1 + (-1) = 0 \).
Для \( z_2 = \frac{3}{11} \):
\( x = -1 — 3z = -1 — 3 \cdot \frac{3}{11} = -\frac{20}{11} \),
\( y = 1 + z = 1 + \frac{3}{11} = \frac{14}{11} \).
Ответ:
\((2; 0; -1)\) и \(\left(-\frac{20}{11}; \frac{14}{11}; \frac{3}{11}\right)\).
