ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Составьте уравнение параболы у = ах² + bx + с, если известно, что она проходит через точки М, Р, Q:

а) М(1; -2), Р(-1; 8), Q(2; -1);

б) М(-1; 6), Р(2; 9), Q(1; 2).

Составить уравнение параболы \(y = ax^2 + bx + c\), если известно, что она проходит через точки \(M, P, Q\);

а) \(M(1; -2)\); \(P(-1; 8)\); \(Q(2; -1)\);
\(\begin{cases} -2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \\ 8 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\ -1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c \end{cases} ⇒ \begin{cases} -2 = a + b + c \\ 8 = a — b + c \\ -1 = 4a + 2b + c \end{cases}\);
Из первого уравнения:
\(a + c = -2 — b\);
\(a = -2 — b — c\);
Из второго уравнения:
\(b = a + c — 8\);
\(b = (-2 — b) — 8\);
\(2b = -10\);
\(b = -5\);
Из третьего уравнения:
\(-1 = 4(-2 — b — c) + 2b + c\);
\(-8 — 4b — 4c + 2b + c + 1 = 0\);
\(3c + 2b + 7 = 0\);
\(3c + 2 \cdot (-5) + 7 = 0\);
\(3c = 3\);
\(c = 1\);
\(a = -2 + 5 — 1 = 2\);
Ответ: \(y = 2x^2 — 5x + 1\).

б) \(M(-1; 6)\); \(P(2; 9)\); \(Q(1; 2)\);
\(\begin{cases} 6 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\ 9 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c \\ 2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \end{cases} ⇒ \begin{cases} 6 = a — b + c \\ 9 = 4a + 2b + c \\ 2 = a + b + c \end{cases}\);
Из третьего уравнения:
\(a + c = 2 — b\);
\(a = 2 — b — c\);
Из первого уравнения:
\(b = a + c — 6\);
\(b = (2 — b) — 6\);
\(2b = -4\);
\(b = -2\);
Из второго уравнения:
\(9 = 4(2 — b — c) + 2b + c\);
\(8 — 4b — 4c + 2b + c — 9 = 0\);
\(3c + 2b + 1 = 0\);
\(3c + 2 \cdot (-2) + 1 = 0\);
\(3c = 3\);
\(c = 1\);
\(a = 2 + 2 — 1 = 3\);
Ответ: \(y = 3x^2 — 2x + 1\).

Составить уравнение параболы \(y = ax^2 + bx + c\), если известно, что она проходит через точки \(M, P, Q\).

а) \(M(1; -2)\), \(P(-1; 8)\), \(Q(2; -1)\)

Подставим координаты точек в уравнение параболы \(y = ax^2 + bx + c\). Получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
-2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \\
8 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\
-1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c
\end{cases}
\]

Раскроем степени и упростим каждое уравнение:
1. Из первого уравнения:
\(-2 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c\), то есть \( -2 = a + b + c\).

2. Из второго уравнения:
\(8 = a \cdot 1 — b + c\), то есть \(8 = a — b + c\).

3. Из третьего уравнения:
\(-1 = a \cdot 4 + b \cdot 2 + c\), то есть \(-1 = 4a + 2b + c\).

Таким образом, система уравнений принимает вид:

\[
\begin{cases}
-2 = a + b + c \\
8 = a — b + c \\
-1 = 4a + 2b + c
\end{cases}
\]

Решение системы уравнений

Шаг 1. Выразим \(a + c\) через \(b\) из первого уравнения:
\(-2 = a + b + c\), тогда \(a + c = -2 — b\).

Шаг 2. Выразим \(a\) через \(b\) и \(c\):
\(a = -2 — b — c\).

Шаг 3. Подставим \(b = a + c — 8\) из второго уравнения:
\(8 = a — b + c\), тогда \(b = a + c — 8\).

Подставим выражение для \(a\):
\(b = (-2 — b — c) + c — 8\).

Упростим:
\(b = -2 — b — 8\), значит \(2b = -10\), отсюда \(b = -5\).

Шаг 4. Найдем \(c\) из третьего уравнения:
Подставим \(a = -2 — b — c\) и \(b = -5\) в третье уравнение:
\(-1 = 4(-2 — b — c) + 2b + c\).

Раскроем скобки:
\(-1 = -8 — 4b — 4c + 2b + c\).

Упростим:
\(-1 = -8 — 2b — 3c\).

Подставим \(b = -5\):
\(-1 = -8 — 2(-5) — 3c\).

\(-1 = -8 + 10 — 3c\), значит \(-1 = 2 — 3c\).

Решим относительно \(c\):
\(-3c = -1 — 2\), отсюда \(-3c = -3\), значит \(c = 1\).

Шаг 5. Найдем \(a\):
Подставим \(b = -5\) и \(c = 1\) в выражение для \(a\):
\(a = -2 — b — c\).

\(a = -2 — (-5) — 1\), значит \(a = -2 + 5 — 1\), отсюда \(a = 2\).

Ответ для пункта а:
Уравнение параболы:
\(y = 2x^2 — 5x + 1\).

б) \(M(-1; 6)\), \(P(2; 9)\), \(Q(1; 2)\)

Подставим координаты точек в уравнение параболы \(y = ax^2 + bx + c\). Получим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
6 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c \\
9 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c \\
2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c
\end{cases}
\]

Раскроем степени и упростим каждое уравнение:
1. Из первого уравнения:
\(6 = a \cdot 1 — b + c\), то есть \(6 = a — b + c\).

2. Из второго уравнения:
\(9 = a \cdot 4 + b \cdot 2 + c\), то есть \(9 = 4a + 2b + c\).

3. Из третьего уравнения:
\(2 = a \cdot 1 + b \cdot 1 + c\), то есть \(2 = a + b + c\).

Таким образом, система уравнений принимает вид:

\[
\begin{cases}
6 = a — b + c \\
9 = 4a + 2b + c \\
2 = a + b + c
\end{cases}
\]

Решение системы уравнений

Шаг 1. Выразим \(a + c\) через \(b\) из третьего уравнения:
\(2 = a + b + c\), тогда \(a + c = 2 — b\).

Шаг 2. Выразим \(a\) через \(b\) и \(c\):
\(a = 2 — b — c\).

Шаг 3. Подставим \(b = a + c — 6\) из первого уравнения:
\(6 = a — b + c\), тогда \(b = a + c — 6\).

Подставим выражение для \(a\):
\(b = (2 — b — c) + c — 6\).

Упростим:
\(b = 2 — b — 6\), значит \(2b = -4\), отсюда \(b = -2\).

Шаг 4. Найдем \(c\) из второго уравнения:
Подставим \(a = 2 — b — c\) и \(b = -2\) в второе уравнение:
\(9 = 4(2 — b — c) + 2b + c\).

Раскроем скобки:
\(9 = 8 — 4b — 4c + 2b + c\).

Упростим:
\(9 = 8 — 2b — 3c\).

Подставим \(b = -2\):
\(9 = 8 — 2(-2) — 3c\).

\(9 = 8 + 4 — 3c\), значит \(9 = 12 — 3c\).

Решим относительно \(c\):
\(-3c = 9 — 12\), отсюда \(-3c = -3\), значит \(c = 1\).

Шаг 5. Найдем \(a\):
Подставим \(b = -2\) и \(c = 1\) в выражение для \(a\):
\(a = 2 — b — c\).

\(a = 2 — (-2) — 1\), значит \(a = 2 + 2 — 1\), отсюда \(a = 3\).

Ответ для пункта б:
Уравнение параболы:
\(y = 3x^2 — 2x + 1\).