ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Пусть x, y, z — три последовательных цифры данного числа, тогда:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 8 \\
x^2 + y^2 + z^2 = 26 \\
100x + 10y + z + 198 = 100z + 10y + x
\end{cases}
\]

1) Из третьего уравнения:

\[
99x — 99z + 198 = 0;
\]

\[
x — z + 2 = 0;
\]

\[
x = z — 2;
\]

2) Из первого уравнения:

\[
y = 8 — x — z = 8 — (z — 2) — z = 10 — 2z;
\]

3) Из второго уравнения:

\[
(z — 2)^2 + (10 — 2z)^2 + z^2 = 26;
\]

\[
z^2 — 4z + 4 + 100 — 40z + 4z^2 + z^2 — 26 = 0;
\]

\[
6z^2 — 44z + 78 = 0;
\]

\[
3z^2 — 22z + 39 = 0;
\]

\[
D = 22^2 — 4 \cdot 3 \cdot 39 = 484 — 468 = 16, \text{тогда:}
\]

\[
z_1 = \frac{22 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;
\]

\[
z_2 = \frac{22 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \notin \mathbb{Z};
\]

4) Искомые цифры:

\[
z = 3;
\]

\[
x = 3 — 2 = 1;
\]

\[
y = 10 — 2 \cdot 3 = 10 — 6 = 4;
\]

Ответ: 143.

Обозначим задуманное трехзначное число как \( \overline{xyz} \), где \( x, y, z \) — его цифры. Тогда:

1. \( x, y, z \) — это цифры, то есть \( x, y, z \in \{0, 1, 2, \dots, 9\} \), и \( x \neq 0 \), так как число трехзначное.

2. Запишем условия задачи в виде уравнений:

— Сумма цифр числа равна 8:
\[
x + y + z = 8
\]

— Сумма квадратов цифр числа равна 26:
\[
x^2 + y^2 + z^2 = 26
\]

— Если к числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число \( \overline{xyz} \) можно записать в виде:
\(
\overline{xyz} = 100x + 10y + z
\)
Число с цифрами в обратном порядке \( \overline{zyx} \) можно записать как:
\(
\overline{zyx} = 100z + 10y + x
\)
Из условия задачи:
\(
100x + 10y + z + 198 = 100z + 10y + x
\)

3. Упростим последнее уравнение:
\(
100x + 10y + z + 198 = 100z + 10y + x
\)
Вычтем \( 10y + x \) из обеих частей:
\(
99x + 198 = 99z
\)
Разделим обе части на 99:
\(
x + 2 = z
\)
Таким образом, \( z = x + 2 \).

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть три уравнения:
1. \( x + y + z = 8 \),
2. \( x^2 + y^2 + z^2 = 26 \),
3. \( z = x + 2 \).

Подставим \( z = x + 2 \) в первое уравнение:
\(
x + y + (x + 2) = 8
\)
Упростим:
\(
2x + y + 2 = 8
\)
\(
2x + y = 6
\)
Отсюда:
\(
y = 6 — 2x
\)

Теперь подставим \( z = x + 2 \) и \( y = 6 — 2x \) во второе уравнение:
\(
x^2 + y^2 + z^2 = 26
\)
\(
x^2 + (6 — 2x)^2 + (x + 2)^2 = 26
\)
Раскроем скобки:
\(
x^2 + (36 — 24x + 4x^2) + (x^2 + 4x + 4) = 26
\)
Сложим все слагаемые:
\(
x^2 + 4x^2 + x^2 — 24x + 4x + 36 + 4 = 26
\)
\(
6x^2 — 20x + 40 = 26
\)
\(
6x^2 — 20x + 14 = 0
\)
Упростим, разделив на 2:
\(
3x^2 — 10x + 7 = 0
\)

Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение \( 3x^2 — 10x + 7 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\(
D = b^2 — 4ac
\)
Здесь \( a = 3 \), \( b = -10 \), \( c = 7 \). Тогда:
\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 — 84 = 16
\)
Корни уравнения находятся по формуле:
\(
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\)
\(
x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3}
\)
\(
x = \frac{10 \pm 4}{6}
\)
\(
x_1 = \frac{10 + 4}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{10 — 4}{6} = \frac{6}{6} = 1
\)

Так как \( x \) — целое число (цифра), то \( x = 1 \).

Найдем \( y \) и \( z \)

Подставим \( x = 1 \) в выражение для \( y \):
\(
y = 6 — 2x = 6 — 2 \cdot 1 = 4
\)

Найдем \( z \):
\(
z = x + 2 = 1 + 2 = 3
\)

Проверка

Число: \( \overline{xyz} = 143 \).

1. Сумма цифр:
\(
1 + 4 + 3 = 8
\)
Выполняется.

2. Сумма квадратов цифр:
\(
1^2 + 4^2 + 3^2 = 1 + 16 + 9 = 26
\)
Выполняется.

3. Если прибавить 198:
\(
143 + 198 = 341
\)
Число \( 341 \) действительно является числом \( 143 \), записанным в обратном порядке.

Ответ:
Задуманное число — \( 143 \).