ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Три числа в заданном порядке образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 48, то снова получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.

Пусть x, y, z — данные последовательные числа, тогда:

\(
\begin{cases}
y^2 = xz \\
2(y + 6) = x + z \\
(y + 6)^2 = x(z + 48)
\end{cases}
\)

1) Из второго уравнения:

\(
y + 6 = \frac{x + z}{2};
\)
\(
(y + 6)^2 = \frac{(x + z)^2}{4};
\)
\(
z = 2(y + 6) — x;
\)

2) Из третьего уравнения:

\(
\frac{(x + z)^2}{4} = x(z + 48);
\)
\(
(x + z)^2 = 4x(z + 48);
\)
\(
x^2 + 2xz + z^2 = 4xz + 192x;
\)
\(
x^2 — 2x + z^2 = 192x;
\)
\(
(x — z)^2 = 192x;
\)

3) Верно следующее равенство:

\(
(x + z)^2 — (x — z)^2 = 4xz;
\)
\(
4(y + 6)^2 — 192x = 4y^2;
\)
\(
4y^2 + 48y + 144 — 192x = 4y^2;
\)
\(
48y = 192x — 144;
\)
\(
y = 4x — 3;
\)
\(
z = 2((4x — 3) + 6) — x = 7x + 6;
\)

4) Из первого уравнения:

\(
(4x — 3)^2 = x(7x + 6);
\)
\(
16x^2 — 24x + 9 = 7x^2 + 6x;
\)
\(
9x^2 — 30x + 9 = 0;
\)
\(
3x^2 — 10x + 3 = 0;
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ и } x_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3;
\)
\(
y_1 = 4 \cdot \frac{1}{3} — 3 = -\frac{5}{3} \text{ и } y_2 = 4 \cdot 3 — 3 = 9;
\)
\(
z_1 = 7 \cdot \frac{1}{3} + 6 = \frac{25}{3} \text{ и } z_2 = 7 \cdot 3 + 6 = 27;
\)

Ответ: \(\frac{1}{3}; -\frac{5}{3}; \frac{25}{3}\) или \(3; 9; 27\).

Три числа \(x\), \(y\), \(z\) в заданном порядке образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 48, то снова получится геометрическая прогрессия. Требуется найти три исходных числа.

Обозначим три числа как \(x\), \(y\), \(z\). Условия задачи можно записать в виде системы уравнений:

\(
\begin{cases}
y^2 = xz \quad \text{(1)} \\
2(y + 6) = x + z \quad \text{(2)} \\
(y + 6)^2 = x(z + 48) \quad \text{(3)}
\end{cases}
\)

Шаг 1. Преобразование второго уравнения

Из второго уравнения \(2(y + 6) = x + z\) выразим \(z\):

\(
y + 6 = \frac{x + z}{2}, z = 2(y + 6) — x.
\)

Кроме того, возведем \(y + 6\) в квадрат:

\(
(y + 6)^2 = \left(\frac{x + z}{2}\right)^2 = \frac{(x + z)^2}{4}.
\)

Шаг 2. Преобразование третьего уравнения

Подставим выражение для \((y + 6)^2\) из предыдущего шага в третье уравнение:

\(
\frac{(x + z)^2}{4} = x(z + 48).
\)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(
(x + z)^2 = 4x(z + 48).
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + 2xz + z^2 = 4xz + 192x.
\)

Перенесем все члены в левую часть:

\(
x^2 — 2xz + z^2 = 192x.
\)

Заметим, что левая часть — это полный квадрат разности:

\(
(x — z)^2 = 192x.
\)

Шаг 3. Связь между \((x + z)^2\) и \((x — z)^2\)

Воспользуемся известным соотношением для квадратов суммы и разности:

\(
(x + z)^2 — (x — z)^2 = 4xz.
\)

Подставим \((x — z)^2 = 192x\) и \((x + z)^2 = 4(y + 6)^2\):

\(
4(y + 6)^2 — 192x = 4xz.
\)

Разделим все уравнение на 4:

\(
(y + 6)^2 — 48x = xz.
\)

Используем первое уравнение \(y^2 = xz\), чтобы заменить \(xz\):

\(
(y + 6)^2 — 48x = y^2.
\)

Раскроем \((y + 6)^2\):

\(
y^2 + 12y + 36 — 48x = y^2.
\)

Сократим \(y^2\) и перенесем слагаемые:

\(
12y = 48x — 36.
\)

Разделим обе части на 12:

\(
y = 4x — 3.
\)

Шаг 4. Выражение \(z\) через \(x\)

Подставим \(y = 4x — 3\) в выражение для \(z\):

\(
z = 2(y + 6) — x = 2((4x — 3) + 6) — x = 2(4x + 3) — x =\)

\(= 8x + 6 — x = 7x + 6.
\)

Шаг 5. Подстановка в первое уравнение

Подставим \(y = 4x — 3\) и \(z = 7x + 6\) в первое уравнение \(y^2 = xz\):

\(
(4x — 3)^2 = x(7x + 6).
\)

Раскроем квадрат и произведение:

\(
16x^2 — 24x + 9 = 7x^2 + 6x.
\)

Перенесем все члены в левую часть:

\(
16x^2 — 7x^2 — 24x — 6x + 9 = 0.
\)

Приведем подобные:

\(
9x^2 — 30x + 9 = 0.
\)

Разделим уравнение на 3:

\(
3x^2 — 10x + 3 = 0.
\)

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Найдем дискриминант:

\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64.
\)

Найдем корни:

\(
x_1 = \frac{-(-10) — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};
\)

\(
x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3.
\)

Шаг 7. Нахождение \(y\) и \(z\)

Для \(x_1 = \frac{1}{3}\):

\(
y_1 = 4 \cdot \frac{1}{3} — 3 = \frac{4}{3} — 3 = \frac{4}{3} — \frac{9}{3} = -\frac{5}{3};
\)

\(
z_1 = 7 \cdot \frac{1}{3} + 6 = \frac{7}{3} + 6 = \frac{7}{3} + \frac{18}{3} = \frac{25}{3}.
\)

Для \(x_2 = 3\):

\(
y_2 = 4 \cdot 3 — 3 = 12 — 3 = 9;
\)

\(
z_2 = 7 \cdot 3 + 6 = 21 + 6 = 27.
\)

Ответ

Три исходных числа равны либо \(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{25}{3}\), либо \(3, 9, 27\).