ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Три бригады, работая вместе, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья?

Пусть первая, вторая и третья бригада делают соответственно по \(x\), \(y\) и \(z\) подшивков в час, тогда:

\(
\begin{cases}
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z = x + y + z; \\
x + y = 2(y + z)
\end{cases}
\)

1) Из первого уравнения:
\(
3z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} \quad | \cdot 2;
\)
\(
6z = x + y;
\)
\(
y = 6z — x;
\)

2) Из второго уравнения:
\(
x + y = 2y + 2z;
\)
\(
y = x — 2z;
\)

3) Найдем соотношение:
\(
6z — x = x — 2z;
\)
\(
8z = 2x;
\)
\(
\frac{x}{z} = \frac{8}{2} = 4;
\)

Ответ: в \(4\) раза.

Для решения задачи введем обозначения:

— Производительность первой бригады — \( x \) (подшипников за 1 час),
— Производительность второй бригады — \( y \) (подшипников за 1 час),
— Производительность третьей бригады — \( z \) (подшипников за 1 час).

Условие 1: Совместная работа всех трех бригад

Если все три бригады работают вместе, то их суммарная производительность равна:
\( x + y + z \).
Норма выполняется за некоторое время \( t \), тогда:
\( t = \frac{1}{x + y + z} \).

Условие 2: Изменение производительности

Если первая и вторая бригады работают в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, их производительность изменится следующим образом:
— Производительность первой бригады станет \( \frac{x}{2} \),
— Производительность второй бригады станет \( \frac{y}{2} \),
— Производительность третьей бригады станет \( 4z \).

Суммарная производительность измененной системы будет:
\( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z \).

Так как норма выполняется за то же время \( t \), то:
\( t = \frac{1}{\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z} \).

Условие 3: Первая и вторая бригады работают быстрее, чем вторая и третья

Первая и вторая бригады вместе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая и третья. То есть:
\( x + y = 2(y + z) \).

Система уравнений

Теперь у нас есть три уравнения:

1. Время выполнения нормы всеми бригадами:
\( \frac{1}{x + y + z} = \frac{1}{\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z} \).

2. Связь между производительностью первой, второй и третьей бригад:
\( x + y = 2(y + z) \).

Решение системы уравнений

Упрощение первого уравнения

Из первого уравнения:
\( x + y + z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z \).
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:
\( 2(x + y + z) = x + y + 8z \).
Раскроем скобки:
\( 2x + 2y + 2z = x + y + 8z \).
Приведем подобные:
\( x + y — 6z = 0 \).
Или:
\( x + y = 6z \).

Подстановка во второе уравнение

Подставим \( x + y = 6z \) во второе уравнение:
\( 6z = 2(y + z) \).
Раскроем скобки:
\( 6z = 2y + 2z \).
Приведем подобные:
\( 4z = 2y \).
Разделим обе части на 2:
\( y = 2z \).

Найдем \( x \)

Из уравнения \( x + y = 6z \) подставим \( y = 2z \):
\( x + 2z = 6z \).
Приведем подобные:
\( x = 4z \).

Ответ на вопрос задачи

Производительность первой бригады (\( x \)) в 4 раза больше производительности третьей бригады (\( z \)).

Проверка

1. Производительность всех трех бригад:
\( x + y + z = 4z + 2z + z = 7z \).

2. Производительность при изменении:
\( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z = \frac{4z}{2} + \frac{2z}{2} + 4z = 2z + z + 4z = 7z \).

Обе суммы равны \( 7z \), значит время выполнения нормы одинаковое.

3. Проверим связь \( x + y = 6z \):
\( x + y = 4z + 2z = 6z \).

Все условия выполнены.

Ответ:
Первая бригада производит подшипников за 1 час в \( 4 \) раза больше, чем третья.