Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
а) \(
\begin{cases}
3x + 2y = 1 \\
x — y = -3 \quad | \cdot 2
\end{cases}
\)
б) \(
\begin{cases}
2\sqrt{x} — 3\sqrt{y} = 1 \quad | \cdot 2 \\
3\sqrt{x} — 2\sqrt{y} = 4 \quad | \cdot 3
\end{cases}
\)
в) \(
\begin{cases}
x + y^2 = 2 \quad | \cdot 2 \\
2y^2 + x^2 = 3
\end{cases}
\)
г) \(
\begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3 \quad | \cdot 5 \\
3\sqrt[3]{x} — 5\sqrt[4]{y} = 1
\end{cases}
\)
Решить систему уравнений методом алгебраического сложения:
а) \(
\begin{cases}
3x + 2y = 1 \\
x — y = -3 \quad | \cdot 2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
3x + 2y = 1 \\
2x — 2y = -6 \quad +
\end{cases}
\)
\( 5x = -5; \)
\( x = -1; \)
Из второго уравнения:
\( -1 — y = -3; \)
\( y = -1 + 3 = 2; \)
Ответ: \((-1; 2)\).
б) \(
\begin{cases}
2\sqrt{x} — 3\sqrt{y} = 1 \quad | \cdot 2 \\
3\sqrt{x} — 2\sqrt{y} = 4 \quad | \cdot 3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
4\sqrt{x} — 6\sqrt{y} = 2 \\
9\sqrt{x} — 6\sqrt{y} = 12 \quad —
\end{cases}
\)
\( -5\sqrt{x} = -10; \)
\( \sqrt{x} = 2; \)
\( x = 2^2 = 4; \)
Из первого уравнения:
\( 2 \cdot 2 — 3\sqrt{y} = 1; \)
\( 3\sqrt{y} = 3; \)
\( \sqrt{y} = 1; \)
\( y = 1^2 = 1; \)
Ответ: \((4; 1)\).
в) \(
\begin{cases}
x + y^2 = 2 \quad | \cdot 2 \\
2y^2 + x^2 = 3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
2x + 2y^2 = 4 \\
x^2 + 2y^2 = 3 \quad —
\end{cases}
\)
\( 2x — x^2 = 1; \)
\( x^2 — 2x + 1 = 0; \)
\( (x — 1)^2 = 0; \)
\( x — 1 = 0; \)
\( x = 1; \)
Из первого уравнения:
\( 1 + y^2 = 2; \)
\( y^2 = 1; \)
\( y = \pm \sqrt{1} = \pm 1; \)
Ответ: \((1, -1); (1; 1)\).
г) \(
\begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3 \quad | \cdot 5 \\
3\sqrt[3]{x} — 5\sqrt[4]{y} = 1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
5\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[4]{y} = 15 \\
3\sqrt[3]{x} — 5\sqrt[4]{y} = 1 \quad +
\end{cases}
\)
\( 8\sqrt[3]{x} = 16; \)
\( \sqrt[3]{x} = 2; \)
\( x = 2^3 = 8; \)
Из первого уравнения:
\( 2 + \sqrt[4]{y} = 3; \)
\( \sqrt[4]{y} = 1; \)
\( y = 1^4 = 1; \)
Ответ: \((8; 1)\).
а) Запишем систему уравнений:
\(
\begin{cases}
3x + 2y = 1 \\
x — y = -3
\end{cases}
\)
Умножим второе уравнение на \( 2 \), чтобы коэффициенты перед \( y \) стали одинаковыми:
\(
\begin{cases}
3x + 2y = 1 \\
2x — 2y = -6
\end{cases}
\)
Сложим уравнения системы:
\(
(3x + 2y) + (2x — 2y) = 1 + (-6)
\)
Получим:
\(
5x = -5
\)
Найдем \( x \):
\(
x = \frac{-5}{5} = -1
\)
Подставим \( x = -1 \) во второе уравнение системы:
\(
-1 — y = -3
\)
Найдем \( y \):
\(
y = -1 + 3 = 2
\)
Ответ: \((-1; 2)\).
б) Запишем систему уравнений:
\(
\begin{cases}
2\sqrt{x} — 3\sqrt{y} = 1 \\
3\sqrt{x} — 2\sqrt{y} = 4
\end{cases}
\)
Умножим первое уравнение на \( 2 \), а второе на \( 3 \), чтобы коэффициенты перед \( \sqrt{y} \) стали одинаковыми:
\(
\begin{cases}
4\sqrt{x} — 6\sqrt{y} = 2 \\
9\sqrt{x} — 6\sqrt{y} = 12
\end{cases}
\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\(
(9\sqrt{x} — 6\sqrt{y}) — (4\sqrt{x} — 6\sqrt{y}) = 12 — 2
\)
Получим:
\(
5\sqrt{x} = 10
\)
Найдем \( \sqrt{x} \):
\(
\sqrt{x} = \frac{10}{5} = 2
\)
Возведем \( \sqrt{x} \) в квадрат, чтобы найти \( x \):
\(
x = 2^2 = 4
\)
Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение системы:
\(
2 \cdot 2 — 3\sqrt{y} = 1
\)
Упростим выражение:
\(
4 — 3\sqrt{y} = 1
\)
Найдем \( \sqrt{y} \):
\(
3\sqrt{y} = 3
\)
\(
\sqrt{y} = \frac{3}{3} = 1
\)
Возведем \( \sqrt{y} \) в квадрат, чтобы найти \( y \):
\(
y = 1^2 = 1
\)
Ответ: \((4; 1)\).
в) Запишем систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x + y^2 = 2 \\
2y^2 + x^2 = 3
\end{cases}
\)
Умножим первое уравнение на \( 2 \), чтобы коэффициенты перед \( y^2 \) стали одинаковыми:
\(
\begin{cases}
2x + 2y^2 = 4 \\
x^2 + 2y^2 = 3
\end{cases}
\)
Вычтем второе уравнение из первого:
\(
(2x + 2y^2) — (x^2 + 2y^2) = 4 — 3
\)
Получим:
\(
2x — x^2 = 1
\)
Перенесем все в одну сторону:
\(
x^2 — 2x + 1 = 0
\)
Разложим на множители:
\(
(x — 1)^2 = 0
\)
Найдем \( x \):
\(
x — 1 = 0
\)
\(
x = 1
\)
Подставим \( x = 1 \) в первое уравнение системы:
\(
1 + y^2 = 2
\)
Найдем \( y^2 \):
\(
y^2 = 2 — 1 = 1
\)
Найдем \( y \):
\(
y = \pm \sqrt{1} = \pm 1
\)
Ответ: \((1, -1); (1; 1)\).
г) Запишем систему уравнений:
\(
\begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3 \\
3\sqrt[3]{x} — 5\sqrt[4]{y} = 1
\end{cases}
\)
Умножим первое уравнение на \( 5 \), чтобы коэффициенты перед \( \sqrt[4]{y} \) стали одинаковыми:
\(
\begin{cases}
5\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[4]{y} = 15 \\
3\sqrt[3]{x} — 5\sqrt[4]{y} = 1
\end{cases}
\)
Сложим уравнения системы:
\(
(5\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[4]{y}) + (3\sqrt[3]{x} — 5\sqrt[4]{y}) = 15 + 1
\)
Получим:
\(
8\sqrt[3]{x} = 16
\)
Найдем \( \sqrt[3]{x} \):
\(
\sqrt[3]{x} = \frac{16}{8} = 2
\)
Возведем \( \sqrt[3]{x} \) в куб, чтобы найти \( x \):
\(
x = 2^3 = 8
\)
Подставим \( x = 8 \) в первое уравнение системы:
\(
2 + \sqrt[4]{y} = 3
\)
Найдем \( \sqrt[4]{y} \):
\(
\sqrt[4]{y} = 3 — 2 = 1
\)
Возведем \( \sqrt[4]{y} \) в четвертую степень, чтобы найти \( y \):
\(
y = 1^4 = 1
\)
Ответ: \((8; 1)\).
