ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) \(
\begin{cases}
\log_2 x — \log_3 y = -5 \\
2\log_2 x + 3\log_3 y = 0
\end{cases}
\)

б) \(
\begin{cases}
\cos x + \cos 2y = -0,5 \\
3\cos 2y — \cos x = 2,5
\end{cases}
\)

в) \(
\begin{cases}
2^{x+2y} — \sqrt{2x + y} = 6 \\
3\sqrt{2x + y} — 2^{x+2y} = -2
\end{cases}
\)

г) \(
\begin{cases}
2\sin 2x + tg\,3y = 2 \\
6\sin 2x — 2\,tg\,3y = 1
\end{cases}
\)

Решить систему уравнений методом алгебраического сложения:

а)

\(
\begin{cases}
\log_2 x — \log_3 y = -5 \\
2\log_2 x + 3\log_3 y = 0
\end{cases}
\quad | \cdot 3
\quad ⇒
\quad
\begin{cases}
3\log_2 x — 3\log_3 y = -15 \\
2\log_2 x + 3\log_3 y = 0
\end{cases}
+
\)

\( 5\log_2 x = -15; \)

\( \log_2 x = -3; \)

\( x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}; \)

Из первого уравнения:

\( -3 — \log_3 y = -5; \)

\( \log_3 y = 2; \)

\( y = 3^2 = 9; \)

Ответ: \(\left( \frac{1}{8}; 9 \right)\).

б) \(
\begin{cases}
\cos x + \cos 2y = -0,5 \\
3\cos 2y — \cos x = 2,5
\end{cases}
+
\)

\( 4\cos 2y = 2; \)

\( \cos 2y = \frac{1}{2}; \)

\( 2y = ± \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = ± \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \)

\( y = ± \frac{\pi}{6} + \pi n; \)

Из первого уравнения:

\( \cos x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}; \)

\( \cos x = -1; \)

\( x = \pi + 2\pi n; \)

Ответ: \(\left( \pi + 2\pi n; ± \frac{\pi}{6} + \pi k \right)\).

в) \(
\begin{cases}
2^{x+2y} — \sqrt{2x + y} = 6 \\
3\sqrt{2x + y} — 2^{x+2y} = -2
\end{cases}
+
\)

\( 2\sqrt{2x + y} = 4; \)

\( \sqrt{2x + y} = 2; \)

\( 2x + y = 4; \)

\( y = 4 — 2x; \)

Из первого уравнения:

\( 2^{x+2(4-2x)} — 2 = 6; \)

\( 2^{x+8-4x} = 8; \)

\( 2^{8-3x} = 2^3; \)

\( 8 — 3x = 3; \)

\( 3x = 5; \)

\( x = \frac{5}{3}; \)

\( y = 4 — 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{12}{3} — \frac{10}{3} = \frac{2}{3}; \)

Ответ: \(\left( \frac{5}{3}; \frac{2}{3} \right)\).

г) \(
\begin{cases}
2\sin 2x + tg\,3y = 2 \\
6\sin 2x — 2\,tg\,3y = 1
\end{cases}
\quad | \cdot 2
\quad ⇒
\quad
\begin{cases}
4\sin 2x + 2\,tg\,3y = 4 \\
6\sin 2x — 2\,tg\,3y = 1
\end{cases}
+
\)

\( 10\sin 2x = 5; \)

\( \sin 2x = \frac{1}{2}; \)

\( 2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; \)

\( x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \)

Из первого уравнения:

\( 2 \cdot \frac{1}{2} + tg\,3y = 2; \)

\( tg\,3y = 1; \)

\(
3y = arctg\,1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;
\)

\( y = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}; \)

Ответ: \(\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \right)\).

а) Запишем систему уравнений:

\(
\begin{cases}
\log_2 x — \log_3 y = -5 \\
2\log_2 x + 3\log_3 y = 0
\end{cases}
\)

Умножим первое уравнение на \( 3 \), чтобы коэффициенты перед \( \log_3 y \) стали одинаковыми:

\(
\begin{cases}
3\log_2 x — 3\log_3 y = -15 \\
2\log_2 x + 3\log_3 y = 0
\end{cases}
\)

Сложим уравнения системы:

\(
(3\log_2 x — 3\log_3 y) + (2\log_2 x + 3\log_3 y) = -15 + 0
\)

Получим:

\(
5\log_2 x = -15
\)

Найдем \( \log_2 x \):

\(
\log_2 x = \frac{-15}{5} = -3
\)

Вспомним определение логарифма:

\(
x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}
\)

Подставим \( \log_2 x = -3 \) в первое уравнение системы:

\(
-3 — \log_3 y = -5
\)

Найдем \( \log_3 y \):

\(
\log_3 y = -5 + 3 = 2
\)

Вспомним определение логарифма:

\(
y = 3^2 = 9
\)

Ответ: \(\left( \frac{1}{8}; 9 \right)\).

б) Запишем систему уравнений:

\(
\begin{cases}
\cos x + \cos 2y = -0,5 \\
3\cos 2y — \cos x = 2,5
\end{cases}
\)

Сложим уравнения системы:

\(
(\cos x + \cos 2y) + (3\cos 2y — \cos x) = -0,5 + 2,5
\)

Получим:

\(
4\cos 2y = 2
\)

Найдем \( \cos 2y \):

\(
\cos 2y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\)

Вспомним формулу для нахождения угла через косинус:

\(
2y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n
\)

Подставим значение \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \):

\(
2y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n
\)

Найдем \( y \):

\(
y = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n
\)

Подставим \( \cos 2y = \frac{1}{2} \) в первое уравнение системы:

\(
\cos x + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\)

Найдем \( \cos x \):

\(
\cos x = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -1
\)

Вспомним формулу для нахождения угла через косинус:

\(
x = \pi + 2\pi n
\)

Ответ: \(\left( \pi + 2\pi n; \pm \frac{\pi}{6} + \pi k \right)\).

в) Запишем систему уравнений:

\(
\begin{cases}
2^{x+2y} — \sqrt{2x + y} = 6 \\
3\sqrt{2x + y} — 2^{x+2y} = -2
\end{cases}
\)

Сложим уравнения системы:

\(
(2^{x+2y} — \sqrt{2x + y}) + (3\sqrt{2x + y} — 2^{x+2y}) = 6 — 2
\)

Получим:

\(
2\sqrt{2x + y} = 4
\)

Найдем \( \sqrt{2x + y} \):

\(
\sqrt{2x + y} = \frac{4}{2} = 2
\)

Возведем обе стороны в квадрат:

\(
2x + y = 4
\)

Выразим \( y \):

\(
y = 4 — 2x
\)

Подставим \( y = 4 — 2x \) в первое уравнение системы:

\(
2^{x+2(4-2x)} — 2 = 6
\)

Упростим выражение:

\(
2^{x+8-4x} = 8
\)

Получим:

\(
2^{8-3x} = 2^3
\)

Приравняем степени:

\(
8 — 3x = 3
\)

Найдем \( x \):

\(
3x = 8 — 3 = 5 \quad ⇒ \quad x = \frac{5}{3}
\)

Найдем \( y \):

\(
y = 4 — 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{12}{3} — \frac{10}{3} = \frac{2}{3}
\)

Ответ: \(\left( \frac{5}{3}; \frac{2}{3} \right)\).

г) Запишем систему уравнений:

\(
\begin{cases}
2\sin 2x + tg\,3y = 2 \\
6\sin 2x — 2\,tg\,3y = 1
\end{cases}
\)

Умножим первое уравнение на \( 2 \), чтобы коэффициенты перед \( tg\,3y \) стали одинаковыми:

\(
\begin{cases}
4\sin 2x + 2\,tg\,3y = 4 \\
6\sin 2x — 2\,tg\,3y = 1
\end{cases}
\)

Сложим уравнения системы:

\(
(4\sin 2x + 2\,tg\,3y) + (6\sin 2x — 2\,tg\,3y) = 4 + 1
\)

Получим:

\(
10\sin 2x = 5
\)

Найдем \( \sin 2x \):

\(
\sin 2x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\)

Вспомним формулу для нахождения угла через синус:

\(
2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n
\)

Подставим значение \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \):

\(
2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n
\)

Найдем \( x \):

\(
x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}
\)

Подставим \( \sin 2x = \frac{1}{2} \) в первое уравнение системы:

\(
2 \cdot \frac{1}{2} + tg\,3y = 2
\)

Упростим выражение:

\(
tg\,3y = 2 — 1 = 1
\)

Вспомним формулу для нахождения угла через тангенс:

\(
3y = arctg\,1 + \pi n
\)

Подставим значение:

\(
3y = \frac{\pi}{4} + \pi n
\)

Найдем \( y \):

\(
y = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}
\)

Ответ: \(\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3} \right)\).