ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите систему уравнений методом введения новых переменных:

а) \(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{5}{3x — y} + \frac{3}{x — 3y} &= -2 \\
\frac{15}{3x — y} + \frac{2}{x — 3y} &= 1
\end{aligned}
\right.
\)

б) \(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{3}{x + y} + \frac{6}{x — y} &= -1 \\
\frac{5}{x + y} + \frac{9}{x — y} &= -2
\end{aligned}
\right.
\)

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

а) \(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{5}{3x — y} + \frac{3}{x — 3y} &= -2 \\
\frac{15}{3x — y} + \frac{2}{x — 3y} &= 1
\end{aligned}
\right.
\)

Пусть \( u = \frac{1}{3x — y} \) и \( t = \frac{1}{x — 3y} \), тогда:

\(
\left\{
\begin{aligned}
5u + 3t &= -2 \quad |\cdot 3 \\
15u + 2t &= 1
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
15u + 9t &= -6 \\
15u + 2t &= 1
\end{aligned}
\right.
-;
\)

\( 7t = -7; \)

\( t = -1; \)

Из первого уравнения:

\( 5u + 3 \cdot (-1) = -2; \)

\( 5u = 1; \)

\( u = \frac{1}{5}; \)

Вернем замену:

\(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{3x — y} &= \frac{1}{5} \\
\frac{1}{x — 3y} &= -1
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
3x — y &= 5 \\
x — 3y &= -1
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
y &= 3x — 5 \\
x — 3y &= -1
\end{aligned}
\right.
;
\)

\( x — 3(3x — 5) = -1; \)

\( x — 9x + 15 = -1; \)

\( 8x = 16; \)

\( x = 2; \)

\( y = 3 \cdot 2 — 5 = 6 — 5 = 1; \)

Ответ: (2; 1).

б) \(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{3}{x + y} + \frac{6}{x — y} &= -1 \\
\frac{5}{x + y} + \frac{9}{x — y} &= -2
\end{aligned}
\right.
\)

Пусть \( u = \frac{1}{x + y} \) и \( t = \frac{1}{x — y} \), тогда:

\(
\left\{
\begin{aligned}
3u + 6t &= -1 \quad |\cdot 3 \\
5u + 9t &= -2 \quad |\cdot 2
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
9u + 18t &= -3 \\
10u + 18t &= -4
\end{aligned}
\right.
-;
\)

\( -u = 1; \)

\( u = -1; \)

Из первого уравнения:

\( 3 \cdot (-1) + 6t = -1; \)

\( 6t = 2; \)

\( t = \frac{1}{3}; \)

Вернем замену:

\(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{x + y} &= -1 \\
\frac{1}{x — y} &= \frac{1}{3}
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
x + y &= -1 \\
x — y &= 3
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{aligned}
x + y &= -1 \\
y &= x — 3
\end{aligned}
\right.
;
\)

\( x + (x — 3) = -1; \)

\( 2x = 2; \)

\( x = 1; \)

\( y = 1 — 3 = -2; \)

Ответ: (1; -2).

а) Дана система уравнений:
\(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{5}{3x — y} + \frac{3}{x — 3y} &= -2 \\
\frac{15}{3x — y} + \frac{2}{x — 3y} &= 1
\end{aligned}
\right.
\)

Введем замену:
\( u = \frac{1}{3x — y} \), \( t = \frac{1}{x — 3y} \).
Тогда система уравнений преобразуется:
\(
\left\{
\begin{aligned}
5u + 3t &= -2 \\
15u + 2t &= 1
\end{aligned}
\right.
\)

Умножим первое уравнение на \( 3 \) для удобства:
\(
\left\{
\begin{aligned}
15u + 9t &= -6 \\
15u + 2t &= 1
\end{aligned}
\right.
\)

Вычтем из первого уравнения второе:
\(
(15u + 9t) — (15u + 2t) = -6 — 1
\)
\(
15u — 15u + 9t — 2t = -7
\)
\(
7t = -7
\)
\(
t = -1
\)

Подставим значение \( t = -1 \) в первое уравнение:
\(
5u + 3(-1) = -2
\)
\(
5u — 3 = -2
\)
\(
5u = 1
\)
\(
u = \frac{1}{5}
\)

Теперь вернемся к исходным переменным:
\(
u = \frac{1}{3x — y}, \quad t = \frac{1}{x — 3y}
\)
\(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{3x — y} &= \frac{1}{5} \\
\frac{1}{x — 3y} &= -1
\end{aligned}
\right.
\)

Найдем выражения для \( 3x — y \) и \( x — 3y \):
\(
\frac{1}{3x — y} = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad 3x — y = 5
\)
\(
\frac{1}{x — 3y} = -1 \quad \Rightarrow \quad x — 3y = -1
\)
\(
\left\{
\begin{aligned}
3x — y &= 5 \\
x — 3y &= -1
\end{aligned}
\right.
\)

Выразим \( y \) из первого уравнения:
\(
y = 3x — 5
\)
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(
x — 3(3x — 5) = -1
\)
Раскроем скобки:
\(
x — 9x + 15 = -1
\)
\(
-8x + 15 = -1
\)
Перенесем \( 15 \) вправо:
\(
-8x = -16
\)
Разделим на \( -8 \):
\(
x = 2
\)

Найдем \( y \):
\(
y = 3x — 5 = 3 \cdot 2 — 5 = 6 — 5 = 1
\)

Ответ: \( (2; 1) \).

б) Дана система уравнений:
\(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{3}{x + y} + \frac{6}{x — y} &= -1 \\
\frac{5}{x + y} + \frac{9}{x — y} &= -2
\end{aligned}
\right.
\)

Введем замену:
\( u = \frac{1}{x + y} \), \( t = \frac{1}{x — y} \).
Тогда система уравнений преобразуется:
\(
\left\{
\begin{aligned}
3u + 6t &= -1 \\
5u + 9t &= -2
\end{aligned}
\right.
\)

Умножим первое уравнение на \( 3 \), а второе на \( 2 \) для удобства:
\(
\left\{
\begin{aligned}
9u + 18t &= -3 \\
10u + 18t &= -4
\end{aligned}
\right.
\)

Вычтем из второго уравнения первое:
\(
(10u + 18t) — (9u + 18t) = -4 — (-3)
\)
\(
10u — 9u + 18t — 18t = -4 + 3
\)
\(
u = -1
\)

Подставим значение \( u = -1 \) в первое уравнение:
\(
3(-1) + 6t = -1
\)
\(
-3 + 6t = -1
\)
\(
6t = 2
\)
\(
t = \frac{1}{3}
\)

Теперь вернемся к исходным переменным:
\(
u = \frac{1}{x + y}, \quad t = \frac{1}{x — y}
\)
\(
\left\{
\begin{aligned}
\frac{1}{x + y} &= -1 \\
\frac{1}{x — y} &= \frac{1}{3}
\end{aligned}
\right.
\)

Найдем выражения для \( x + y \) и \( x — y \):
\(
\frac{1}{x + y} = -1 \quad \Rightarrow \quad x + y = -1
\)
\(
\frac{1}{x — y} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad x — y = 3
\)
\(
\left\{
\begin{aligned}
x + y &= -1 \\
x — y &= 3
\end{aligned}
\right.
\)

Выразим \( y \) из первого уравнения:
\(
y = -1 — x
\)
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(
x — (-1 — x) = 3
\)
Раскроем скобки:
\(
x + 1 + x = 3
\)
\(
2x + 1 = 3
\)
Перенесем \( 1 \) вправо:
\(
2x = 2
\)
Разделим на \( 2 \):
\(
x = 1
\)

Найдем \( y \):
\(
y = -1 — x = -1 — 1 = -2
\)

Ответ: \( (1; -2) \).