ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

а) \(
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \\
\log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy
\end{cases}
\)

б) \(
\begin{cases}
\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 10 — 3\sqrt[4]{xy} \\
2x — 5y = 6
\end{cases}
\)

Решить систему уравнений методом введения новых переменных:

а) \(
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \\
\log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy
\end{cases}
\)

Из второго уравнения:
\(
\log_6^2 xy — 2 \log_6 xy + 1 = 0
\)

Пусть \( t = \log_6 xy \), тогда:
\(
t^2 — 2t + 1 = 0
\)
\(
(t — 1)^2 = 0
\)
\(
t = 1
\)

Вернем замену:
\(
\log_6 xy = 1
\)
\(
xy = 6^1
\)
\(
y = \frac{6}{x}
\)

Из первого уравнения:
\(
2x + 3 \cdot \frac{6}{x} = 12 \quad | \cdot \frac{x}{2}
\)
\(
x^2 + 9 = 6x
\)
\(
x^2 — 6x + 9 = 0
\)
\(
(x — 3)^2 = 0
\)
\(
x = 3
\)
\(
y = \frac{6}{3} = 2
\)

Ответ: \( (3; 2) \).

б) \(
\begin{cases}
\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 10 — 3\sqrt[4]{xy} \\
2x — 5y = 6
\end{cases}
\)

Из первого уравнения:
\(
\sqrt{xy} + 3\sqrt[4]{xy} — 10 = 0
\)

Пусть \( t = \sqrt[4]{xy} \), тогда:
\(
t^2 + 3t — 10 = 0
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \quad тогда:
\)
\(
t_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 < 0 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2
\)

Вернем замену:
\(
\sqrt[4]{xy} = 2
\)
\(
xy = 2^4 = 16
\)
\(
y = \frac{16}{x}
\)

Из второго уравнения:
\(
2x — 5 \cdot \frac{16}{x} = 6 \quad | \cdot \frac{x}{2}
\)
\(
x^2 — 40 = 3x
\)
\(
x^2 — 3x — 40 = 0
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 40 = 9 + 160 = 169, \quad тогда:
\)
\(
x_1 = \frac{3 — 13}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 13}{2} = 8
\)

Выражение имеет смысл при:
\(
x \geq 0
\)
\(
y \geq 0
\)

Решения системы уравнений:
\(
x = 8
\)
\(
y = \frac{16}{8} = 2
\)

Ответ: \( (8; 2) \).

а) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
2x + 3y = 12 \\
\log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy
\end{cases}
\)

Начнем с преобразования второго уравнения:
\(
\log_6^2 xy + 1 = 2 \log_6 xy
\)
Перенесем все в одну часть:
\(
\log_6^2 xy — 2 \log_6 xy + 1 = 0
\)
Это квадратное уравнение. Пусть \( t = \log_6 xy \). Тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 2t + 1 = 0
\)
Решим это уравнение. Заметим, что оно является полным квадратом:
\(
(t — 1)^2 = 0
\)
Отсюда:
\(
t = 1
\)

Вернемся к исходной переменной:
\(
\log_6 xy = 1
\)
Преобразуем:
\(
xy = 6^1
\)
\(
xy = 6
\)
Выразим \( y \) через \( x \):
\(
y = \frac{6}{x}
\)

Подставим \( y = \frac{6}{x} \) в первое уравнение системы:
\(
2x + 3 \cdot \frac{6}{x} = 12
\)
Умножим обе части уравнения на \( \frac{x}{2} \), чтобы избавиться от дроби:
\(
x^2 + 9 = 6x
\)
Перенесем все в одну часть:
\(
x^2 — 6x + 9 = 0
\)
Заметим, что это уравнение является полным квадратом:
\(
(x — 3)^2 = 0
\)
Отсюда:
\(
x = 3
\)

Найдем \( y \):
\(
y = \frac{6}{x} = \frac{6}{3} = 2
\)

Ответ: \( (3; 2) \).

б) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 10 — 3\sqrt[4]{xy} \\
2x — 5y = 6
\end{cases}
\)

Начнем с преобразования первого уравнения:
\(
\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 10 — 3\sqrt[4]{xy}
\)
Обозначим \( t = \sqrt[4]{xy} \). Тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 + 3t — 10 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
\)
Найдем корни уравнения:
\(
t_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 — 7}{2} = -5
\)
\(
t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2
\)
Корень \( t_1 = -5 \) не подходит, так как \( t = \sqrt[4]{xy} \geq 0 \). Следовательно:
\(
t = 2
\)

Вернем замену:
\(
\sqrt[4]{xy} = 2
\)
Возведем обе части в четвертую степень:
\(
xy = 2^4 = 16
\)
Выразим \( y \) через \( x \):
\(
y = \frac{16}{x}
\)

Подставим \( y = \frac{16}{x} \) во второе уравнение системы:
\(
2x — 5 \cdot \frac{16}{x} = 6
\)
Умножим обе части уравнения на \( \frac{x}{2} \), чтобы избавиться от дроби:
\(
x^2 — 40 = 3x
\)
Перенесем все в одну часть:
\(
x^2 — 3x — 40 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169
\)
Найдем корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{-3 — \sqrt{169}}{2} = \frac{3 — 13}{2} = -5
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{3 + 13}{2} = 8
\)
Корень \( x_1 = -5 \) не подходит, так как \( x \geq 0 \). Следовательно:
\(
x = 8
\)

Найдем \( y \):
\(
y = \frac{16}{x} = \frac{16}{8} = 2
\)

Ответ: \( (8; 2) \).