Учебник А.Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа» давно стал классикой среди пособий для старшеклассников. Его популярность объясняется не только качественным содержанием, но и структурированным подходом к изучению сложных тем алгебры и математического анализа. Этот задачник является неотъемлемой частью учебного процесса для подготовки к экзаменам, включая ЕГЭ.
ГДЗ 10-11 Класс Номер 59.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\begin{cases}
3\sqrt[3]{x+y} = \log_2 16x^2 \\
\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x+y} = 6
\end{cases}\)
б) \(\begin{cases}
3^{x-y} — 7|2y — x| = 2 \\
|2y — x| — 3^{x-y-1} = -2
\end{cases}\)
Решить систему уравнений методом введения новых переменных:
а) \(\begin{cases}
3\sqrt[3]{x+y} = \log_2 16x^2 \\
\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x+y} = 6
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
3\sqrt[3]{x+y} = 4 + \log_2 x^2 \\
\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x+y} = 6
\end{cases};\)
Преобразуем правую часть первого уравнения:
\(\log_2 16x^2 = \log_2 16 + \log_2 x^2 = 4 + \log_2 x^2;\)
Пусть \( u = \sqrt[3]{x+y} \) и \( t = \log_2 x^2 \), тогда:
\(\begin{cases}
3u = 4 + t \\
t + 2u = 6
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
t = 3u — 4 \\
t + 2u = 6
\end{cases};\)
\((3u — 4) + 2u = 6;\)
\(5u = 10;\)
\(u = 2;\)
\(t = 3 \cdot 2 — 4 = 2;\)
Значение переменной \( x \):
\(\log_2 x^2 = 2;\)
\(x^2 = 2^2 = 4;\)
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2;\)
Значение переменной \( y \):
\(\sqrt[3]{x+y} = 2;\)
\(x + y = 8;\)
\(y = 8 — x;\)
\(y_1 = 8 + 2 = 10;\)
\(y_2 = 8 — 2 = 6;\)
Ответ: \((-2; 10); (2; 6)\).
б) \(\begin{cases}
3^{x-y} — 7|2y — x| = 2 \\
|2y — x| — 3^{x-y-1} = -2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
3^{x-y} — 7|2y — x| = 2 \\
|2y — x| — \frac{3^{x-y}}{3} = -2
\end{cases};\)
Пусть \( u = 3^{x-y} \) и \( t = |2y — x| \), тогда:
\(\begin{cases}
u — 7t = 2 \\
t — \frac{u}{3} = -2 \quad |\cdot 3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
u = 2 + 7t \\
3t — u = -6
\end{cases};\)
\(3t — (2 + 7t) = -6;\)
\(-4t = -4;\)
\(t = 1;\)
\(u = 2 + 7 \cdot 1 = 9;\)
Значение переменной \( y \):
\(3^{x-y} = 9;\)
\(3^{x-y} = 3^2;\)
\(x — y = 2;\)
\(y = x — 2;\)
Значение переменной \( x \):
\(|2y — x| = 1;\)
\(|2(x — 2) — x| = 1;\)
\(|x — 4| = 1;\)
Если \( x \geq 4 \), тогда:
\(x — 4 = 1;\)
\(x = 1 + 4 = 5;\)
\(y = 5 — 2 = 3;\)
Если \( x < 4 \), тогда:
\(-(x — 4) = 1;\)
\(x = 4 — 1 = 3;\)
\(y = 3 — 2 = 1;\)
Ответ: \((5; 3); (3; 1)\).
а) Дана система уравнений:
\(\begin{cases}
3\sqrt[3]{x+y} = \log_2 16x^2 \\
\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x+y} = 6
\end{cases}\)
Приведем первое уравнение к более удобному виду. Согласно свойству логарифмов:
\(\log_2 16x^2 = \log_2 16 + \log_2 x^2 = 4 + \log_2 x^2\)
Таким образом, система перепишется в следующем виде:
\(\begin{cases}
3\sqrt[3]{x+y} = 4 + \log_2 x^2 \\
\log_2 x^2 + 2\sqrt[3]{x+y} = 6
\end{cases}\)
Введем новые переменные:
\(u = \sqrt[3]{x+y}, \quad t = \log_2 x^2\)
Тогда система примет вид:
\(\begin{cases}
3u = 4 + t \\
t + 2u = 6
\end{cases}\)
Из первого уравнения выразим \(t\):
\(t = 3u — 4\)
Подставим выражение для \(t\) во второе уравнение:
\((3u — 4) + 2u = 6\)
Сложим подобные слагаемые:
\(5u — 4 = 6\)
Перенесем \(4\) в правую часть:
\(5u = 10\)
Разделим на \(5\):
\(u = 2\)
Найдем значение \(t\):
\(t = 3u — 4 = 3 \cdot 2 — 4 = 2\)
Теперь найдем значение переменной \(x\). Согласно определению \(t\):
\(\log_2 x^2 = 2\)
Возведем \(2\) в степень \(2\):
\(x^2 = 2^2 = 4\)
Извлечем квадратный корень:
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)
Теперь найдем значение переменной \(y\). Согласно определению \(u\):
\(\sqrt[3]{x+y} = 2\)
Возведем обе части в куб:
\(x + y = 8\)
Выразим \(y\):
\(y = 8 — x\)
Подставим значения \(x\):
Если \(x = 2\), то \(y = 8 — 2 = 6\)
Если \(x = -2\), то \(y = 8 + 2 = 10\)
Ответ: \((-2; 10); (2; 6)\)
б) Дана система уравнений:
\(\begin{cases}
3^{x-y} — 7|2y — x| = 2 \\
|2y — x| — 3^{x-y-1} = -2
\end{cases}\)
Упростим второе уравнение, используя свойство степеней:
\(3^{x-y-1} = \frac{3^{x-y}}{3}\)
Система примет вид:
\(\begin{cases}
3^{x-y} — 7|2y — x| = 2 \\
|2y — x| — \frac{3^{x-y}}{3} = -2
\end{cases}\)
Введем новые переменные:
\(u = 3^{x-y}, \quad t = |2y — x|\)
Тогда система примет вид:
\(\begin{cases}
u — 7t = 2 \\
t — \frac{u}{3} = -2
\end{cases}\)
Домножим второе уравнение на \(3\):
\(3t — u = -6\)
Из первого уравнения выразим \(u\):
\(u = 2 + 7t\)
Подставим выражение для \(u\) во второе уравнение:
\(3t — (2 + 7t) = -6\)
Раскроем скобки:
\(3t — 2 — 7t = -6\)
Сложим подобные слагаемые:
\(-4t — 2 = -6\)
Перенесем \(2\) в правую часть:
\(-4t = -4\)
Разделим на \(-4\):
\(t = 1\)
Найдем значение \(u\):
\(u = 2 + 7 \cdot 1 = 9\)
Теперь найдем значение переменной \(y\). Согласно определению \(u\):
\(3^{x-y} = 9\)
Представим \(9\) как \(3^2\):
\(3^{x-y} = 3^2\)
Приравняем показатели степени:
\(x — y = 2\)
Выразим \(y\):
\(y = x — 2\)
Теперь найдем значение переменной \(x\). Согласно определению \(t\):
\(|2y — x| = 1\)
Подставим \(y = x — 2\):
\(|2(x — 2) — x| = 1\)
Раскроем скобки:
\(|x — 4| = 1\)
Рассмотрим два случая:
1. Если \(x \geq 4\):
\(x — 4 = 1\)
\(x = 5\)
\(y = 5 — 2 = 3\)
2. Если \(x < 4\):
\(-(x — 4) = 1\)
\(x = 3\)
\(y = 3 — 2 = 1\)
Ответ: \((5; 3); (3; 1)\)
